Користувач:Tanya Kurlyanchyk/Грамайданчик

Основні відомості про логіку предикатів

Логіка предикатів - розділ класичної символічної логіки, що вивчає суб'єктно-предикатну структуру висловлювань, на підставі чого визначають значення істинності висловлювань; по-іншому - це дедуктивна теорія, яка моделює процес виведення одних висловлювань із інших, враховуючи їх структуру. Логіку предикатів трактують як розширення логіки висловлювань через виявлення внутрішньої структури висловлювань і введення нових термінів та системи аксіом.

Логіка предикатів як система створюється відповідно до загальних принципів побудови формальних систем . Особливість логіки предикатів полягає в тому, що вона є складнішою і за семантикою, і за синтаксисом порівняно з логікою висловлювань. Розрізняють семантику та синтаксис логіки предикатів. У семантичному аспекті визначають суб'єктно-предикатну структуру висловлювань на змістовному рівні. Це дає змогу виявити властивості, притаманні певній сукупності емпіричних або абстрактних об'єктів, і ввести терміни, котрі відокремлюють сферу дії предикатів, - висловлювання, властивість, відношення.

• предикат;
• двомісний предикат;
• багатомісний предикат;
• квантор загальності;
• квантор існування;

Висловлюванню, в якому емпіричному чи абстрактному об'єктові приписують певну властивість Р або визначаються відношення між об'єктами, надають два значення істинності: "істина" (і); "хибність" (х). Відповідно, логіка предикатів - двозначна за кількістю значень істинності висловлювань. У синтаксичному аспекті суб'єктно- предикатну структуру висловлювань визначають у процесі абстрагування від їх змісту та формалізують засобами штучно створеної мови, на підставі чого здійснюють логічні операції над символами, що зображають ці відношення (числення предикатів).

Структура логіки предикатів

Структура логіки предикатів (ЛП) - алфавіт, правила побудови формул із символів алфавіту, правила дедуктивного виведення з аксіом нових формул (доведення теорем), правила інтерпретації. Мова логіки предикатів - це система символів, що створюють алфавіт. До нього належать символи, введені в логіці висловлювань, і нові символи, які позначають терміни, введені в логіці предикатів.

Алфавіт логіки предикатів.
*символи, що позначають елементарні (прості) висловлювання (формули, формальні вирази) Р, Q; 
*символи, які позначають істиннісні значення висловлювань - "/", V; 
*символи, що позначають предметні (індивідні) змінні - х, у, г,... п (множинність предметних змінних може бути безмежною); 
*символи, які позначають предметні константи (постійні) - а, в, с, а*,... п; 
*символи, що позначають д-місні предикати - Р,  РҐ Р Р o  - символи, котрі позначають предметні функції -  Р (верхній індекс позначає місність предметних функцій, а нижній визначає їх кількість);  
*символ, що позначає терм г; 
*символ, який позначає предикатну змінну X;  
*символ, що позначає відношення предикації <=; 
*символ, який позначає квантор загальності V; 
*символ, що позначає квантор існування 3; 
*символи, котрі позначають пропозиційні зв'язки (логічні сполучники, логічні постійні): кон'юнкція л, диз'юнкція v, імплікація ->, еквівалентність =, заперечення ->; 
*технічні символи: ( - ліва дужка; ) - права дужка.

Визначимо смисл термінів, що створюють специфіку логіки предикатів, і символічно зобразимо їх штучною мовою. Терм - будь-яка предметна константа чи предметна змінна. Предикат (предикатор) (лат. - термін, що в традиційній логіці означає властивість, притаманну суб'єктові. Позначають символом Р. Зв'язок суб'єкта з предикатом виражається формулою 5 є Р.

У логіці предикатів термін "предикат" двоякий за змістом.

 #Властивість. 

 #Відношення. 

Власивості логіки предикатів

1. Властивість (якість, ознака, характерна особливість, атрибут) - все, що притаманне предметам, явищам, процесам об'єктивного світу, подіям і відбувається у світі як їхня сутнісна та специфічна особливість. Позначають терміном "одномісний предикат". Одномісний предикат - логічна функція висловлювання, що виражає властивість. Відношення між об'єктом і його властивостями називають відношенням предикації, яке визначають через поняття "одномісна пропозицій на функція", "одномісний предикат". Мовою логіки предикатів це означає встановлення відношення між терміном, що позначає об'єкт, і терміном, що позначає абстрактний об'єкт, який виражає властивість Р, притаманну емпіричному об'єктові. Термін "емпіричний об'єкт" визначають як предметний (індивідний) концепт, термін "абстрактний об'єкт" - як предикатний концепт, а відношення між ними - як двомісне відношення у структурі певного висловлювання.

Побудова формул логіки предикатів

Формальний вираз такого відношення "х <= X", де "я" - предметна змінна для термінів, що позначають емпіричний об'єкт; "X" - предикатна змінна для термінів, що позначають абстрактний об'єкт; <= - символ предикації. Приклад такого двомісного відношення - висловлювання "Україна є республікою", де "Україна" - термін, що позначає емпіричний об'єкт, тобто Українську державу, а "республіка" - термін, що позначає абстрактний об'єкт, тобто властивість, притаманну Українській державі - "бути республікою" (за формою державного правління). Послідовна формалізація цього висловлювання мовою логіки предикатів така: - Р,(х) - одномісна пропозиційна функція; х <=. Р(Х), де "дг" - символ для позначення предметного (індивідного) концепта "Україна" (Українська держава); <= - символ предикації; Р{Х) - символ для позначення предикатного концепта (властивості) "республіка".===== Побудова формул логіки предикатів.

 #Якщо F і Q - формули, то -" F; (F а Q); (F V Q); (F -> Q); (F = Q) - формули. 
 #Кожен д-місний предикатний символ Рл задає формулу одного з видів. 
 #Р(х) - формула, що виражає властивість (одномісний предикат). 
 #R(x, у) - формула, яка виражає двомісний предикат.  
 #R(x, у, г) - формула, що виражає тримісний предикат.  
 #Якщо Р - формула і х - предметна змінна, то V* Р(х) і ЗхР(х) є формулами. 
 #V* Р(х) - формула, яка виражає сферу дії квантора загальності.
 #Зх Р(х) - формула, що виражає сферу дії квантора існування.

Жодних інших формул у логіці предикатів немає. Формули виду Р, F, Q - прості (елементарні), а формули виду V* Р(х), Vx Р(х, yt z), V* Зу (Р(х, у) - складні.

Квантифікація висловлювань

Квантифікація (лат. quantum - скільки; facio - роблю) - визначення обсягу суб'єкта та предиката в структурі висловлювання за допомогою кванторних термінів - "усі" ("будь-який", "кожний") та "деякі"; логічна операція, за допомогою якої визначають сферу дії кванторів. Це перехід від формули виду: Р(х) до формули виду Vx(P(x)) або Зх(Р(х)), унаслідок чого змінна х у формулі Р(х) перестає бути просто символом, а виражає певну властивість, притаманну класові А. Змінну х ,у формулі Р(х) називають вільною змінною, а після квантифікації - зв'язаною змінною, тобто у формулах Vx(P(x)) і Зх(Р(х)) змінна х стає зв'язаною.=====

Квантифікація висловлювань, що містять відношення (і-міс-ні предикати), набувають такого вигляду: Р(х, у) - двомісний предикат, визначений на множинності М.

Логіка предикатів є двозначною за кількістю значень істинності, тому висловлюванням із кванторами загальності й існування надають два значення істинності - "і", "х".

Дивись також

• Булева алгебра
• Бітові операції
• Комбінаційна логіка
• Трійкова логіка
• Логічні елементи

Література

• Гаврилов Г. П. ,Сапоженко А. А. Збірник завдань з дискретної математики. — М. : Наука, 1969.
• Марченков С. С. Замкнуті класи булевих функцій. — М. : Фізматліт, 2000.
• Яблонський С. В. Введення в дискретну математику. — М. : Наука, 1986.
• Игошин В. І. Математична логіка і теорія алгоритмів. — 2- е вид. , Стереотип . — М., 2008. — 448 с. — ISBN 978-5-7695-4593-1.
• Самофалов К. Г. , Романкевич А. М. , Валуйський В. Н. , Канівський Ю. С. , Пиневич М. М. {{{Заголовок}}}. — Київ : Вища Школа, 1987. — С. 183-189.
• Алексєєв В. Б. Дискретна математика (курс лекцій , II семестр) . Упоряд. А. Д. Поспєлов
• Бикова С. В. , Буркатовскій Ю. Б. , Булеві функції , навчально - методичний комплекс , Томськ , 2006