Круг Мора

Круг Мора (круг напружень) — графічний метод визначення напружень при складному плоскому напруженому стані. Розроблений Мором О. Х. для більш наочного розв'язання задач з теорії напруженого стану. Круг Мора використовують для розв'язання прямої та оберненої задачі.

Пряма задача

Постановка питання

Потрібно графічним методом розв'язати задачу в якій розглядаєм точку в плоскому напруженому стані, де відомо положення головних площин і відповідні до них головні напруження. Потрібно знайти нормальні і дотичні напруження, що діють на площинах, які нахилені під заданим кутом $\alpha \,$ до головних.

Розв'язання

На графіку $\sigma \,\sim \,\tau \,$ відкладають відрізки в певному масштабі: ${\mathit {OA}}=\sigma _{1}\,$ та ${\mathit {OB}}=\sigma _{2}\,$.Знаходимо т.${\mathit {C}}\,$ як центр відрізка ${\mathit {AB}}\,$ і будуємо круг Мора як показано на малюнку. Потім із центра відкладаємо кут ${\mathit {2}}\alpha \,$ на перетині промення із колом буде точка ${\mathit {D_{\alpha }}}\,$. Ордината точки ${\mathit {D_{\alpha }}}\,$ буде дотичне напруження $\tau _{\alpha }\,$ а абсциса нормальне напруження $\sigma _{\alpha }\,$. Аналогічно знаходиться напруження у площині $\beta \,$.Слід мати на увазі що площини $\beta \,$ $\alpha \,$ взаємно перпендикулярні.

Круг Мора (пряма задача)

Круг Мора(обернена задача)

Обернена задача

Постановка питання

Потрібно графічним методом розв'язати задачу в якій розглядаєм точку в плоскому напруженому стані, де відомі нормальні і дотичні напруження $\sigma _{\alpha }\,\tau _{\alpha }\,\sigma _{\beta }\,\tau _{\beta }\,$ на взаємно перпендикулярних площинах. Потрібно визначити головні напруження і положення головних площин.

Розв'язання

У геометричній площині в системі координат $\sigma \,\sim \,\tau \,$ виберемо т.${\mathit {D_{\alpha }}}\,$ з координатами $\sigma _{\alpha }\,\tau _{\alpha }\,$ та т.${\mathit {D_{\beta }}}\,$ з координатами $\sigma _{\beta }\,\tau _{\beta }\,$.Сполучивши ці дві точки, знаходимо центр круга Мора — т.${\mathit {C}}\,$ тоді проводимо коло радіусом ${\mathit {C}}{\mathit {D_{\alpha }}}\,$.Таким чином перетини кола з вісю абсцис будуть головні напруження $\sigma _{1}\,$ та $\sigma _{2}\,$. Для знаходження положення головних площин знаходять полюс ${\mathit {M}}\,$, який знаходиться на перетині кола і горизонтальної лінії проведеної із точки ${\mathit {D_{\alpha }}}\,$. Сполучивши полюс із точками ${\mathit {A}}\,$ та ${\mathit {B}}\,$, дістанемо напрям головних напружень $\sigma _{1}\,$ та $\sigma _{2}\,$.

Література

Писаренко Г. С. та ін. Опір матеріалів. — Вища школа. — С. 655.

Див. також

• Georg Mohr — Круг Мора
• Мор Отто Христіан — графічний метод визначення напружень