Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Кубічна інтерполяція — інтерполяція функції однієї змінної поліномом третього степеня .
Лінійна інтерполяція — це інтерполяція за допомогою двох найближчих значень. Значення
z
(
x
)
{\displaystyle ~z(x)}
x
{\displaystyle ~x}
z
(
x
)
=
(
1
−
x
)
z
0
+
x
z
1
{\displaystyle ~z(x)=(1-x)z_{0}+xz_{1}}
де
z
0
,
z
1
{\displaystyle z_{0},z_{1}}
Якщо задано
z
0
,
z
1
,
z
0
′
,
z
1
′
{\displaystyle z_{0},z_{1},z_{0}^{\prime },z_{1}^{\prime }}
похідної в початковій та кінцевій точці, то інтерполяція реалізується кубічними многочленами Ерміта .
Розглянемо варіант, коли значення похідної не доступне, а використовуються 2 додаткові точки регулярної сітки(по одній зліва та справа від інтервалу інтерполяції):
z
(
x
)
=
w
−
1
(
x
)
z
−
1
+
w
0
(
x
)
z
0
+
w
1
(
x
)
z
1
+
w
2
(
x
)
z
2
{\displaystyle ~z(x)=w_{-1}(x)z_{-1}+w_{0}(x)z_{0}+w_{1}(x)z_{1}+w_{2}(x)z_{2}}
де
w
−
1
(
x
)
,
w
0
(
x
)
,
w
1
(
x
)
,
w
2
(
x
)
{\displaystyle w_{-1}(x),w_{0}(x),w_{1}(x),w_{2}(x)}
w
−
1
(
x
)
=
(
−
1
2
+
(
1
−
x
2
)
x
)
x
{\displaystyle ~w_{-1}(x)=\left(-{1 \over 2}+\left(1-{x \over 2}\right)x\right)x}
w
0
(
x
)
=
1
+
(
−
5
2
+
3
2
x
)
x
2
{\displaystyle ~w_{0}(x)=1+\left(-{5 \over 2}+{3 \over 2}x\right)x^{2}}
w
1
(
x
)
=
(
1
2
+
(
2
−
3
2
x
)
x
)
x
{\displaystyle ~w_{1}(x)=\left({1 \over 2}+\left(2-{3 \over 2}x\right)x\right)x}
w
2
(
x
)
=
(
−
1
2
+
x
2
)
x
2
{\displaystyle ~w_{2}(x)=\left(-{1 \over 2}+{x \over 2}\right)x^{2}}
w
−
1
(
x
)
=
−
1
6
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle ~w_{-1}(x)=-{1 \over 6}x(x-1)(x-2)}
w
0
(
x
)
=
1
2
(
x
2
−
1
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle ~w_{0}(x)={1 \over 2}(x^{2}-1)(x-2)}
w
1
(
x
)
=
−
1
2
x
(
x
+
1
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle ~w_{1}(x)=-{1 \over 2}x(x+1)(x-2)}
w
2
(
x
)
=
1
6
x
(
x
2
−
1
)
{\displaystyle ~w_{2}(x)={1 \over 6}x(x^{2}-1)}
