Лема Гронуолла—Беллмана — лема про інтегральні (диференціальні) нерівності[1][2]. Використовується для встановлення різноманітних оцінок в теорії звичайних диференціальних рівнянь та стохастичних диференціальних рівнянь. Зокрема, вона використовується при доведені єдиності розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння.
В інтегральній формі.
Нехай
![{\displaystyle \quad u(t)\geqslant 0,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1deefdc460bd36ce2a20cbf7c9f8fc8cadd853e6)
![{\displaystyle \quad f(t)\geqslant 0,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91578fc13dc19294acd361e83df2e8d254d0916)
![{\displaystyle \quad u(t),f(t)\in C[t_{0},\infty ),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b622c9551c12ea11750ec5181ab34bee83041d86)
причому при
виконується нерівність:
де
— деяка додатна константа. Тоді для довільного
виконується оцінка
В диференціальні формі.
Нехай
![{\displaystyle \quad u(t)\in C^{1}(t_{0},\infty ),f(t)\in C[t_{0},\infty ),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a480ea350689f5d57ca07ab121e8d40bcdc59ae)
причому при
виконується нерівність:
Тоді для довільного
виконується оцінка
Зауваження. В цьому випадку немає жодних припущень на знак функцій
, але вимагається диференційовність функції
.
Із нерівності (1) отримуємо
![{\displaystyle {\frac {u(t)}{c\ +\ \int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau }}\,\leqslant 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3018e5cfa7a77e2d0bf69a3fdae8e60f3da05f)
та
![{\displaystyle {\frac {f(t)u(t)}{c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau }}\,\leqslant \,f(t),\qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6edea4ed799c6a48dc6326fc67f8945fe60496)
Оскільки
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\bigg [}c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau {\bigg ]}=f(t)u(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afcdb3da8d527fc78437efb3100b815d1ae6611)
то, інтегруючи нерівність (3) в межах від
до
, матимемо
![{\displaystyle \ln {\bigg [}c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau {\bigg ]}\,-\,\ln c\,\leqslant \,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539d2fbbc0e2a4c77418471578b271ef316cfec0)
Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо
![{\displaystyle u(t)\,\leqslant \,c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau \,\leqslant \,c\,\exp \int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,d\tau ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0f89a5820fa8c4826cb6c55b962c5939d7eaea)
що й треба було довести.
- ↑ Беллман Р., Теория устойчивости решений диференциальных уравнений, ИЛ, 1954
- ↑ Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94
- Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)