Лема Расьової — Сікорського

Лема Расьової — Сікорського — в аксіоматиці теорії множин (названа в честь Гелени Расьової та Романа Сікорського) один з основних фактів для техніки форсінга.

Використаємо визначення щільної множина та загального фільтра:

• Підмножина E частково впорядкованої множини (P, ≤) називається щільною, якщо:

$\forall p\in P\quad \exists e\in E:\quad e\leq p.$

• Якщо D є сімейством щільних підмножин P, тоді фільтр F в P називається D-загальним, якщо:

F ∩ E ≠ ∅ for all E ∈ D.

Лема

Якщо p ∈ P, а D — зліченне сімейство щільних підмножин P, тоді існує D-загальний фільтр F в P, що p ∈ F.

Доведення

Якщо D — зліченне, тоді пронумеруємо його елементи як D₁, D₂, ….

За визначенням щільності, існують p₁ ∈ D₁ : p₁ ≤ p. І так далі … ≤ p₂ ≤ p₁ ≤ p де p_i ∈ D_i.

Тоді G = { q ∈ P: ∃ i, q ≥ p_i} є D-загальним фільтром.

Ця лема є слабщою версією аксіоми Мартіна, а саме вона є MA($\aleph _{0}$).

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)