Лема Рімана — Лебеґа стверджує, що інтеграл від функції, такої як на малюнку є малим. Інтеграл наближатиметься до нуля при збільшенні числа коливань. У математиці лема Рімана — Лебеґа , названа на честь Бернхарда Рімана та Анрі Лебега , стверджує, що перетворення Фур'є або перетворення Лапласа
L
1
{\displaystyle L^{1}}
гармонічному та асимптотичному аналізах .
Якщо
f
{\displaystyle f}
L
1
{\displaystyle L^{1}}
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
інтеграл Лебега від
|
f
|
{\displaystyle |f|}
перетворення Фур'є функції
f
{\displaystyle f}
f
^
(
z
)
≡
∫
R
d
f
(
x
)
exp
(
−
i
z
⋅
x
)
d
x
→
0
,
|
z
|
→
∞
.
{\displaystyle {\hat {f}}(z)\equiv \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\exp(-iz\cdot x)\,dx\rightarrow 0,|z|\to \infty .}
Спочатку припустимо, що
f
(
x
)
=
χ
(
a
,
b
)
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\chi _{(a,b)}(x)}
функція індикатор відкритого інтервалу .
Тоді:
∫
f
(
x
)
e
i
ξ
x
d
x
=
∫
a
b
e
i
ξ
x
d
x
=
e
i
ξ
b
−
e
i
ξ
a
i
ξ
→
0
{\displaystyle \int f(x)e^{i\xi x}\,dx=\int _{a}^{b}e^{i\xi x}\,dx={\frac {e^{i\xi b}-e^{i\xi a}}{i\xi }}\rightarrow 0}
|
ξ
|
→
∞
{\displaystyle |\xi |\rightarrow \infty }
За адитивністю границь, те саме справедливо для довільної крокової функції. Тобто для будь-якої функції
f
{\displaystyle f}
f
=
∑
i
=
1
N
c
i
χ
(
a
i
,
b
i
)
,
c
i
∈
R
,
a
i
≤
b
i
∈
R
{\displaystyle f=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\chi _{(a_{i},b_{i})},~~c_{i}\in \mathbb {R} ,~~a_{i}\leq b_{i}\in \mathbb {R} }
Маємо:
lim
|
ξ
|
→
∞
∫
f
(
x
)
e
i
ξ
x
d
x
=
0
{\displaystyle \lim _{|\xi |\rightarrow \infty }\int f(x)e^{i\xi x}\,dx=0}
Нарешті, нехай
f
∈
L
1
{\displaystyle f\in L^{1}}
Зафіксуємо
ε
∈
R
>
0
{\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} >0}
Оскільки крокові функції щільні в
L
1
{\displaystyle L^{1}}
g
{\displaystyle g}
∫
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
d
x
<
ε
{\displaystyle \int \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \,dx<\varepsilon }
За нашим попереднім аргументом та означенням границі складеної функції існує
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
|
ξ
|
>
N
{\displaystyle |\xi |>N}
|
∫
g
(
x
)
e
i
ξ
x
d
x
|
<
ε
{\displaystyle \left\vert \int g(x)e^{i\xi x}\,dx\right\vert <\varepsilon }
За адитивністю інтегралів:
∫
f
(
x
)
e
i
ξ
x
d
x
=
∫
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
e
i
ξ
x
d
x
+
∫
g
(
x
)
e
i
ξ
x
d
x
{\displaystyle \int f(x)e^{i\xi x}\,dx=\int (f(x)-g(x))e^{i\xi x}\,dx+\int g(x)e^{i\xi x}\,dx}
Використовуючи нерівність трикутника для комплексних чисел , нерівність трикутника для інтегралів, мультиплікативність абсолютного значення та формулу Ейлера :
|
∫
f
(
x
)
e
i
ξ
x
d
x
|
≤
∫
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
d
x
+
|
∫
g
(
x
)
e
i
ξ
x
d
x
|
{\displaystyle \left\vert \int f(x)e^{i\xi x}\,dx\right\vert \leq \int \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \,dx+\left\vert \int g(x)e^{i\xi x}\,dx\right\vert }
Для усіх
|
ξ
|
>
N
{\displaystyle |\xi |>N}
2
ε
{\displaystyle 2\varepsilon }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
lim
|
ξ
|
→
∞
∫
f
(
x
)
e
i
ξ
x
d
x
=
0
{\displaystyle \lim _{|\xi |\rightarrow \infty }\int f(x)e^{i\xi x}\,dx=0}
для усіх
f
∈
L
1
{\displaystyle f\in L^{1}}
Лема Рімана — Лебеґа має справедлива в багатьох інших ситуаціях.
Якщо
f
L
1
{\displaystyle fL^{1}}
(
0
,
∞
)
{\displaystyle (0,\infty )}
f
{\displaystyle f}
∫
0
∞
f
(
t
)
e
−
t
z
d
t
→
0
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-tz}\,dt\to 0}
при
|
z
|
→
∞
{\displaystyle |z|\to \infty }
півплощині
R
e
(
z
)
≥
0
{\displaystyle Re(z)\geq 0}
Лема справедлива і для рядів Фур'є : якщо
f
{\displaystyle f}
коефіцієнти Фур'є функції
f
{\displaystyle f}
n
→
±
∞
{\displaystyle n\to \pm \infty }
f
^
n
→
0.
{\displaystyle {\hat {f}}_{n}\ \to \ 0.}
Випливає якщо довизначити ƒ нулем поза інтервалом визначення, а відтак застосувати версію леми до всього дійсного відрізка.
Подібне твердження є тривіальним для L 2
L
2
{\displaystyle L^{2}}
L
2
{\displaystyle L^{2}}
l
2
{\displaystyle l^{2}}
Однак лема не виконується для довільних розподілів. Наприклад, розподіл дельта-функції Дірака формально має скінченний інтеграл на дійсній прямій, але його перетворення Фур'є є константою (точне значення залежить від форми використовуваного перетворення) і не прямує до нуля в нескінченності. Лема Рімана — Лебеґа може бути використана для доведення справедливості асимптотичних наближень для інтегралів. Строге доведення методу найшвидшого спуску та методу нерухомої фази , серед інших, базуються на лемі Рімана-Лебеґа.
Зупинимося на одновимірному випадку, доведення для вищих порядків подібне. Нехай
f
{\displaystyle f}
компактній множині гладка функція. Тоді інтегруючи частинами маємо
|
∫
f
(
x
)
e
−
i
z
x
d
x
|
=
|
∫
1
i
z
f
′
(
x
)
e
−
i
z
x
d
x
|
≤
1
|
z
|
∫
|
f
′
(
x
)
|
d
x
→
0
,
z
→
±
∞
.
{\displaystyle \left|\int f(x)e^{-izx}\,dx\right|=\left|\int {\frac {1}{iz}}f'(x)e^{-izx}\,dx\right|\leq {\frac {1}{|z|}}\int |f'(x)|\,dx\rightarrow 0,z\rightarrow \pm \infty .}
Якщо
f
{\displaystyle f}
L
1
{\displaystyle L^{1}}
компакті гладкою функцією
g
{\displaystyle g}
ƒ − g || L 1 ε . Тоді
lim sup
z
→
±
∞
|
f
^
(
z
)
|
≤
lim sup
z
→
±
∞
|
∫
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
e
−
i
x
z
d
x
|
+
lim sup
z
→
±
∞
|
∫
g
(
x
)
e
−
i
x
z
d
x
|
≤
ε
+
0
=
ε
,
{\displaystyle \limsup _{z\rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(z)|\leq \limsup _{z\to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))e^{-ixz}\,dx\right|+\limsup _{z\rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)e^{-ixz}\,dx\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon ,}
а оскільки
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
