Локально компактний простір

В топології локально компактний простір — топологічний простір, що в деякому околі кожної своєї точки «подібний» до деякого компактного простору. Найчастіше в означенні локально компактного простору вимагається щоб довільна його точка мала компактний окіл.

Деякі автори при означенні вимагають сильніші властивості: існування замкнутого компактного околу чи бази околів з компактних множин. У випадку гаусдорфового простору всі ці вимоги є еквівалентними.

Приклади

Приклади локально компактних просторів:

• Замкнутий інтервал $[0,1]$, множина Кантора і загалом довільний компактний простір
• Простір дійсних чисел $\mathbb {R}$ і загалом евклідові простори $\mathbb {R} ^{n}$,
• Довільний дискретний простір.

Простори, що не є локально компактними:

• Простір раціональних чисел ${\mathbb {Q} }$ з індукованою топологією $\mathbb {R}$,
• Простір Бера $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$
• Простір ірраціональних чисел $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$, як підпростір простору $\mathbb {R}$.

• Простір $\{(0,0)\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>0\}$ як топологічний підпростір площини.

Властивості

• У локально компактному гаусдорфовому просторі $X$ для будь-якої компактної підмножини $E$ її компактні околи утворюють базу околів множини $E$. Зокрема для кожної точки її компактні околи (які існують за означенням локальної компактності) утворюють базу околів точки.

Якщо простір $X$ є компактним і $U$ є деяким відкритим околом множини $E$, то доповнення $T=X\setminus U$ є компактною множиною, як замкнута підмножина компактного простору. Оскільки $E$ і $T$ є компактними підмножинами гаусдорфового простору, що не перетинаються, то існують також відкриті околи $V\supset E$ і $W\supset T$ із порожнім перетином. Оскільки $V$ є підмножиною замкнутої множини $X\setminus W$ то і її замикання ${\bar {V}}\subset X\setminus W.$ Але також $X\setminus W\subset U$ тож і ${\bar {V}}\subset U$ і також ${\bar {V}}$ є компактною, як замкнута підмножина компактного простору. Тобто кожен відкритий окіл $E$ містить компактний окіл цієї множини, що й доводить те, що компактні околи утворюють базис околів множини $E$.

У загальному випадку для локально компактних просторів для кожної точки $x\in E$ існує компактний окіл $N_{x}$, що містить відкритий окіл $U_{x}$ цієї точки. Відкриті околи $U_{x}$ утворюють покриття компактної множини $E$ і тому існує скінченне підпокриття $U_{x_{1}},\ldots ,U_{x_{n}}.$ Тоді для відповідних компактних околів об'єднання $N=N_{x_{1}}\cup \ldots \cup N_{x_{n}}$ є компактним околом $E$. Тоді для будь-якого відкритого околу $V$ множини $E$ множина $V\cap N$ є відкритим околом $E$ у компактному просторі $N.$ Тому із попереднього випливає існування компактної (у $N,$ а тому й у $X$) множини $K$ для якої $E\subset K\subset V\cap N\subset V,$ тобто довільний відкритий окіл компактної множини знову ж містить компактний окіл.

• Локально компактний гаусдорфів простір є цілком регулярним. Більше того для кожної компактної підмножини $K$ локально компактного простору $X$ і її відкритого околу $U$ існує неперервна функція $f:X\to \mathbb {R}$ така, що $0\leqslant f(x)\leqslant 1,\ \forall x\in X$ і також $f(x)=1,\ \forall y\in K,$ а носій функції є компактною підмножиною $U$, зокрема $f(x)=0,\ \forall y\not \in U.$ Цілковита регулярність є частковим випадком цього твердження у випадку якщо $K$ є одноточковою підмножиною.

• Замкнутий підпростір $E$ локально компактного простору $X$ є теж локально компактним.

За означенням для кожної точки $x\in E$ існує компактний окіл $K$ у просторі $X$. Але тоді $E\cap K$ є замкнутою підмножиною компактного простору $K$ і тому теж є компактною підмножиною простору $K$, а тому простору $X$ і простору $E$. Тобто кожна точка $x\in E$ має компактний окіл у $E$ і цей підпростір теж є локально компактним.

• Для довільного гаусдорфового простору $X$ локально компактний підпростір є локально замкнутим (тобто замкнутою підмножиною деякої відкритої підмножини X; еквівалентно якщо він є рівний перетину деякої відкритої і замкнутої множин або різницею замкнутих підмножин). Навпаки для локально компактного гаусдорфового простору довільний локально замкнутий підпростір є локально компактним.

Якщо $E$ є локально компактним підпростором гаусдорфового простору $X$ то для кожної точки $x\in E$ існує компактна підмножина $K_{x}\subset E$ і відкрита підмножина $U_{x}\subset X$ для яких $x\in U_{x}\cap E\subset K_{x}$ (це і означає в даному випадку, що $K_{x}$ є компактним околом у просторі $E$). Об'єднання множин $U=\cup _{x\in E}U_{x}$ є відкритим околом $E$ і достатньо довести, що $E$ є замкнутою підмножиною $U.$ Нехай $y\in U\setminus E.$ Тоді $y\in U_{x}$ для деякого $x\in E$ і y і $K_{x}$ є двома компактними підмножинами $U$ із порожнім перетином. Оскільки простір є гаусдорфовим звідси випливає існування відкритих околів $y\subset U_{y}$ і $K_{x}\subset U_{K_{x}}$ із порожнім перетином. Очевидно можна вибрати також $U_{y}\subset U_{x}$ і у цьому випадку $U_{y}\subset E=\emptyset .$ Отже для кожної точки $y\in U\setminus E$ існує відкритий окіл (у $U$) цієї точки, що не перетинається з $E$. Тобто $E$ є замкнутою підмножиною відкритої множини $U.$

Навпаки, якщо $X$ є локально компактним гаусдорфовим простором, $E$ є замкнутою підмножиною деякої відкритої множини $U\subset X$ і $x\in E$ то із попереднього існує компактний окіл $x\in K_{x}\subset U$. Множина $K_{x}$ є замкнутою у $U$ як компактна підмножина гаусдорфового простору $U$. Відповідно $K_{x}\cap E$ є замкнутою підмножиною у $K_{x}$ і тому компактною. Відповідно $K_{x}\cap E$ є компактним околом x у E.

• З попереднього випливає, що щільна підмножина локально компактного гаусдорфового простору є локально компактною тоді і тільки тоді, коли вона є відкритою.

• Одноточкова компактифікація топологічного простору $X$ є гаусдорфовою тоді і тільки тоді, коли $X$ є локально компактним гаусдорфовим простором.

• Добуток топологічних просторів є локально компактним тоді і тільки тоді, коли всі ці простори є локально компактними і всі вони, можливо за винятком скінченної кількості є компактні.

• Образ локально компактного простору при сюр'єктивному неперервному відкритому відображенні є локально компактним.

• Факторпростір локально компактного гаусдорфового простору є компактно породженим. Навпаки, будь-який компактно породжений гаусдорфів простір є факторпростором деякого локально компактного гаусдорфового простору.

Див. також

• Компактний простір

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Kelley, John (1975). General Topology. Springer. ISBN 0-387-90125-6.
• Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, MR507446, ISBN 978-0-486-68735-3
• Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).