Марковський момент часу

Момент зупину або марковський момент часу в теорії випадкових процесів — це випадкова величина, яка не залежить від майбутнього розглянутого випадкового процесу.

Дискретний випадок

Визначення

Нехай дана послідовність випадкових величин $\{Y_{n}\}_{n\geq 0}$ . Тоді випадкова величина $\tau$ називається марковським моментом (часу), якщо для будь-якого $n\geq 0$ подія $\{\tau \leq n\}$ залежить тільки від випадкових величин $Y_{0},\ldots ,Y_{n}$ .

Приклад

нехай $\{Y_{n}\}_{n\geq 0}$ — послідовність незалежних нормальних випадкових величин. Нехай $L\in \mathbb {R}$ , і

\tau =\inf\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}

— момент першого досягнення процесом $\{Y_{n}\}$ рівня $L$ . Тоді $\tau$ - марковський момент, бо $\tau \leq n$ тоді і тільки тоді, коли існує $i\in \mathbb {N} ,\;0\leq i\leq n$ таке, що $Y_{i}\geq L$ . Таким чином подія $\{\tau \leq n\}$ залежить лише від поведінки процесу до моменту часу $n$ .

Нехай тепер

\sigma =\sup\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}

— момент останнього досягнення процесом $\{Y_{n}\}$ рівня $L$ . Тоді $\sigma$ не є марковським моментом, бо подія $\{\sigma \leq n\}$ передбачає знання поведінки процесу в майбутньому.

Загальний випадок

Визначення

Нехай дано ймовірнісний простір $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ з фільтрацією $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ , де $T\subset [0,\infty )$ . Тоді випадкова величина $\tau$ , яка приймає значення в $T\cup \{\infty \}$ називається марковським моментом відносно даної фільтрації, якщо $\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\quad \forall t\in T$ .

Якщо дано процес $\{X_{t}\}_{t\in T}$ , і ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma (X_{s}\mid s\leq t)$ - його природні σ-алгебри, то кажуть, що $\tau$ — марковський момент відносно процесу $\{X_{t}\}$ .

Марковський момент називається моментом зупинки, якщо він скінченний майже напевно, тобто: $\mathbb {P} (\tau <\infty )=1$ .

Властивості

Якщо $\tau$ і $\sigma$ — марковські моменти, то

$\tau +\sigma$ — марковський момент;
$\tau \wedge \sigma \equiv \min(\tau ,\sigma )$ — марковський момент;
$\tau \vee \sigma \equiv \max(\tau ,\sigma )$ — марковський момент.

Зауваження

Момент зупинки може не мати скінченного математичного сподівання.

Приклад

Нехай $\{W_{t}\}_{t\geq 0}$ — стандартний вінерівський процес. Нехай $\alpha >0$ . Визначимо

\tau =\inf\{t\geq 0\mid W_{t}\geq \alpha \}

.

Тоді $\tau$ — марковський момент, який має розподіл, що задається щільністю ймовірності

f_{\tau }(t)={\frac {\alpha }{\sqrt {2\pi t^{3}}}}e^{-{\frac {\alpha ^{2}}{2t}}},\quad t\geq 0

.

Зокрема $\tau$ — момент зупинки. Проте,

\mathbb {E} \tau =\infty

.

Контрприклад

Розглянемо пацюка у відкритому лабіринті, в якому пацюк зрештою виходить на свободу і ніколи вже не повертається в лабіринт. Припустимо, що пацюк стартує у комірці 1; $X_{0}=1.$ Нехай $\tau$ позначає час коли пацюк відвідав комірку 1 востаннє перед тим як покинути лабіринт: $\tau ={\mbox{max}}\{n\geq 0:X_{n}=1\}.$