Матриця Коші

В математиці, матриця Коші (названа в честь Огюстена Луї Коші) — це m×n-матриця з елементами вигляду:

$a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leqslant i\leqslant m,\quad 1\leqslant j\leqslant n$

де $x_{i}$ та $y_{j}$ є елементами поля ${\mathcal {F}}$, а послідовності $(x_{i})$ та $(y_{j})$ таких елементів є ін'єкційними (не містять повторюваних елементів).

Матриця Гільберта є окремим випадком матриці Коші при

$x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;$

Кожна підматриця (матриця, яка виходить в результаті викреслювання певного рядка і стовпця) матриці Коші також є матрицею Коші.

Визначники Коші

Визначник квадратної матриці Коші є раціональної функцією параметрів $(x_{i})$ та $(y_{j})$. Якщо ці послідовності не ін'єктівні, то визначник дорівнює нулю. Якщо деякі $x_{i}$ прямують до $y_{j}$, то визначник прямує до нескінченності. Таким чином, частина множин нулів і полюсів визначника Коші заздалегідь відома. Насправді інших нулів і полюсів немає.

Явний вигляд визначника квадратної матриці Коші A, або просто визначник Коші:

$\det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}$     (Schechter 1959, eqn 4).

Він завжди не дорівнює нулю, таким чином, матриці Коші є оборотними. Обернена матриця A⁻¹ =B= [b_ij] має вигляд:

$b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,$     (Schechter 1959, Theorem 1)

де A_i(x) и B_i(x) — многочлени Лагранжа для послідовностей $(x_{i})$ і $(y_{j})$, відповідно. Тобто

$A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}$ і $\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},$

де

$A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})$ і $\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).$

Узагальнення

Матриця C називається матрицею типу Коші, якщо вона має вигляд

$C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.$

Позначивши X=diag(x_i), Y=diag(y_i), отримаємо, що матриці типу Коші (зокрема, просто матриці Коші) задовольняють зміщеному рівнянню:

$\mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }$

(в разі матриць Коші $r=s=(1,1,\ldots ,1)$). Відповідно матриці типу Коші мають загальну зміщену структуру, що може бути використано при роботі з такими матрицями. Наприклад, відомі алгоритми для

• наближеного множення матриці Коші на вектор за $O(n\log n)$ операцій,
• LU-розкладання за $O(n^{2})$ операцій (алгоритм GKO), і відповідний алгоритм рішення систем лінійних рівнянь з такими матрицями,
• нестійкі алгоритми для вирішення систем лінійних рівнянь за $O(n\log ^{2}n)$ операцій.

Через $n$ позначений розмір матриці (зазвичай мають справу з квадратними матрицями, хоча всі вищенаведені алгоритми легко можуть бути узагальнені на прямокутні матриці).

Див. також

• Матриці Тепліца

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• A. Gerasoulis (1988). A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors (PDF). Mathematics of Computation. 50 (181): 179—188. Архів оригіналу (PDF) за 24 жовтня 2012. Процитовано 30 жовтня 2014.
• I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky (1995). Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure (PDF). Mathematics of Computation. 64 (212): 1557—1576. Архів оригіналу (PDF) за 24 жовтня 2012. Процитовано 30 жовтня 2014.
• P. G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin (2005). An $O(N\log ^{2}N)$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices (PDF). Computers & Mathematics with Applications. 50: 741—752. Архів оригіналу (PDF) за 27 вересня 2011. Процитовано 30 жовтня 2014.
• S. Schechter (1959). On the inversion of certain matrices (PDF). Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 13 (66): 73—77. Архів оригіналу (PDF) за 24 жовтня 2012. Процитовано 30 жовтня 2014.