Метод Лагранжа (теорія квадратичних форм)

Метод Лагранжа — метод зведення квадратичної форми до канонічного виду.

Опис

Метод полягає в послідовному виділенні в квадратичній формі повних квадратів. Нехай нам дана квадратична форма:

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}$

Можливі два випадки:

1. хоча б один з коефіцієнтів $a_{ii}$ біля квадратів відмінний від нуля. Не порушуючи загальності, будемо вважати що $a_{11}\neq 0$ (чого можна добитись перестановкою змінних);
2. Всі коефіцієнти $a_{ii}=0,i={\overline {1,n}}$ (квадратична форма вироджена), але є коефіцієнт $a_{ij},i\neq j$, відмінний від нуля (нехай $a_{12}\neq 0$).

В першому випадку перетворюємо квадратичну форму таким чином:

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+...+2a_{1n}x_{1}x_{n})+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=$

$={\frac {1}{a_{11}}}(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n})^{2}-{\frac {1}{a_{11}}}(a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n})^{2}+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=$

$={\frac {1}{a_{11}}}y_{1}^{2}+f_{2}(x_{2},x_{3},...,x_{n})$, де

$~y_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}$, а через $~f_{2}(x_{2},x_{3},...,x_{n})$ позначені решта доданків.

$~f_{2}(x_{2},...,x_{n})$ являє собою квадратичну форму від n-1 змінних $~x_{2},x_{3},...,x_{n}$.

Її перетворюють аналогічно, і так далі.

Варто зауважити, що $y_{1}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}$

Інший випадок заміною змінних $~x_{1}=y_{1}+y_{2},x_{2}=y_{1}-y_{2},x_{3}=y_{3},...,x_{n}=y_{n}$ зводиться до першого.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Тевяшев А. Д., Литвин О. Г. Канонічний вигляд квадратичної форми. Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду // Вища математика. Збірник задач. Ч. 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. — Харків : СМІТ, 2010. — С. 164-166.