Метод Лагранжа — метод зведення квадратичної форми до канонічного виду.
Метод полягає в послідовному виділенні в квадратичній формі повних квадратів. Нехай нам дана квадратична форма:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a5dc7b55842d94c271c773cf3625e06971b818)
Можливі два випадки:
- хоча б один з коефіцієнтів
біля квадратів відмінний від нуля. Не порушуючи загальності, будемо вважати що
(чого можна добитись перестановкою змінних);
- Всі коефіцієнти
(квадратична форма вироджена), але є коефіцієнт
, відмінний від нуля (нехай
).
В першому випадку перетворюємо квадратичну форму таким чином:
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+...+2a_{1n}x_{1}x_{n})+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd57244df5fd5e3ce75bf1455d2541c0e4faa8e)
![{\displaystyle ={\frac {1}{a_{11}}}(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n})^{2}-{\frac {1}{a_{11}}}(a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n})^{2}+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f5cc46b213f21fc81c97482db645669b0b6277)
, де
, а через
позначені решта доданків.
являє собою квадратичну форму від n-1 змінних
.
Її перетворюють аналогічно, і так далі.
Варто зауважити, що
Інший випадок заміною змінних
зводиться до першого.