Метод Монтанте

Метод Монтанте — метод лінійної алгебри для розв'язання системи лінійних рівнянь, знаходження обернених матриць та визначників. Метод названий в честь його першовідкривача Рене Марио Монтанте Пардо (René Mario Montante Pardo).

Головна особливість — працює використовуючи виключно цілочисельну арифметику для цілочисельних матриць, що дозволяє отримувати точні результати в комп'ютерних реалізаціях.

Історія

Метод був розроблений в 1973 Рене Маріо Монтанте Пардо, на кафедрі механіки і електротехніки Universidad Autónoma de Nuevo León, в Монтеррей, Мексика.

Алгоритм

Візьмемо лінійну систему рівнянь з цілими коефіцієнтами

2x-y-3z+w=3\,

x+y-2z-2w=2\,

3x-2y+z-w=-2\,

x-y+z+3w=1\,

Розширена матриця (включаючи результуючу колонку):

A_{0}={\begin{pmatrix}2&-1&-3&1&3\\1&1&-2&-2&2\\3&-2&1&-1&-2\\1&-1&1&3&1\end{pmatrix}}

Перша ітерація: залишаємо перший рядок (оглядовий рядок) як є, під першим елементом цього рядка робимо нулі.

A_{1}={\begin{pmatrix}2&-1&-3&1&3\\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}

Поточний оглядовий елемент $p_{1}=2$ на $a_{11}$ (верхній лівий елемент), попередній оглядовий елемент $p_{0}=1$ .

Кожен елемент в іншій частині матриці (за виключенням оглядового рядка та стовпця) отримані за формулою

a_{ij}^{1}\leftarrow {\frac {a_{ij}p_{1}-a_{1j}a_{i1}}{p_{0}}}

Отже

A_{1}={\begin{pmatrix}2&-1&-3&1&3\\0&3&-1&-5&1\\0&-1&11&-5&-13\\0&-1&5&5&-1\end{pmatrix}}

Друга ітерація: наступний оглядовий елемент $p_{2}=3$ на $a_{22}^{1}$

Залишіть другий (оглядовий) рядок як є. Робимо нулі під діагональним елементом оглядового рядка, замінюємо всі попередні оглядові елементи на $p_{2}$ . Потім використовуємо формулу детермінанта до інших елементів, у колонках з 3 по 5 та рядках 1, 3 і 4.