Метрика Пуанкаре

Метрика Пуанкаре на гіперболічній рімановій поверхні - узгоджена з комплексною структурою метрика постійної від'ємної кривини на ній. На одиничному диску D задається формулою

$ds^{2}={\frac {|dz|^{2}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.$

На будь-яку іншу поверхню S, універсальним накриттям над якою є диск, метрика Пуанкаре коректно спускається факторизацією, оскільки метрика на диску інваріантна відносно його автоморфізмів.

Властивість

Метрика Пуанкаре інваріантна відносно автоморфізмів ріманової поверхні, і (як стверджує теорема Шварца — Піка) не збільшується довільним голоморфним відображенням.

Література

• Милнор, Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 30-36. — 320 с. — ISBN 5-93972-006-4.