Ортогональні поліноми
|
|
Лежандра
|
Відкриті
|
Адрієн-Марі Лежандр
|
Формула
|
|
Диференціальне рівняння
|
|
Визначені на
|
|
Вага
|
1
|
Норма
|
|
Примітки
|
|
Поліноми Лежандра — ортогональні поліноми на інтервалі
.
Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів
за допомогою ортогоналізації Грама-Шмідта.
Можуть бути обчислені за допомогою прямих формул:
![{\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad969113cbd9ce7c159d27350ece1e855f91c2a2)
або за рекурентними:
![{\displaystyle P_{n+1}(x)={2n+1 \over {n+1}}xP_{n}(x)-{n \over {n+1}}P_{n-1}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500329043621dd892af277a71a9108a3442ae1b2)
Вони є розв'язками диференційного рівняння Лежандра:
![{\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd51c7228067db4bea119843fb19c6caab834954)
Графіки поліномів Лежандра порядку
Генератриса для многочленів Лежандра дорівнює
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(z)x^{n}={1 \over {\sqrt {1-2xz+x^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a581c643d708385d161e354a5502c4cad0bc68b)
Перші 9 поліномів Лежандра:
![{\displaystyle \ P_{0}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f7674dfee332250d74f73353ba48cc28273acd)
![{\displaystyle \ P_{1}(x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f0639b98dbdf0d8e70ad4701a5c993f0cb5740)
![{\displaystyle P_{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf9ebd6bcd5b91f583eca39d7ff441e445a8f8e)
![{\displaystyle P_{3}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9313bf1a7aa66ffd7d557ce6b96849ed91e447a5)
![{\displaystyle P_{4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51cf9e1bddf7515e22e208d92a2ea34d632c81e6)
![{\displaystyle P_{5}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1921ed8f007005ad52a9b910946e340e12e62af3)
![{\displaystyle P_{6}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf899b792814a86438d5f8de1b5f3b27464b52eb)
![{\displaystyle P_{7}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647bfcf89c587cd300dc9d465bcc1983ff3b46ca)
![{\displaystyle P_{8}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a11979b399030348a1f601243990a0d9945779c)
![{\displaystyle P_{9}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bd7156333f3a7f063b92ac8ad15635eb2f3cbc)
Умова ортогональності справджується на інтервалі
:
![{\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50f9ece9adc6d802e368ae8ce64d293fcdc5c44)
де
— дельта-символ Кронекера.
Приєднані функції Лежандра визначаються за формулою:
![{\displaystyle P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{n}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/692d634840da932b1e297002d9ad91c0e7714e4a)
яку можна також представити у вигляді:
![{\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{n}(\cos \theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca92af949fb821dc0146d0f355fc4c280e51e351)
При
функція
збігається з
.
Їх часто називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча насправді ці функції не поліноми.
Приєднані функції Лежандра є розв'язками диференціального рівняння:
![{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(n[n+1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c33d3baf02e4e4533377496199bbd6f7d318c0)
або еквівалентного йому:
![{\displaystyle ([1-x^{2}]\,y')'+\left(n[n+1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2afb07a9145d2a76dbbbccda91b65d4958d130)
Поліноми Лежандра широко застосовуються у фізиці. Зазвичай аргументом поліномів є косинус полярного кута
, який змінюється від −1 при
до 1 при
.
Зокрема для отримання мультипольного розкладу електростатичних полів:
,
де
, а
— кут між векторами
та
.
Інше важливе застосування — розклад полів на парціальні хвилі. Наприклад, плоска хвиля розкладається за допомогою формули
![{\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)i^{l}j_{l}(kr)P_{l}(\cos \theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8482cf8a1aa2051afc397c926e3446fa7982bef9)
де
— сферичні функції Бесселя.