Модель ідеального світу

Модель ідеального світу — це комплексна математична модель, яка використовується для вивчення феномену у концепції сталого розвитку. Перше була представлена (Сандерсон 1994). Дана модель дозволяє економістам, політичним аналітикам і екологам вивчати взаємодію між економічним, демографічним та антропогенним сектором в ідеальному світі, результати якої можна використати в реальному світі.

Вступ

Модель ідеального світу являться компактною моделлю. В загальному, тут є тільки чотири неперервні змінні стану, по одній для економічного і демографічного секторів і дві для антропогенного сектору. Це робить цю модель більш компактною і піддатливою для аналізу більшої та заплутаніших моделей як, наприклад, World3. Тому її часто використовують як початкову тестову платформу для нових методів в області політичного аналізу (Lempert, et al., 2003).

Основні рівняння

Позначимо ці чотири змінні стану як: $x(t)$ — виробництво на душу населення, $y(t)$ — народжуваність, $z(t)$ — запас природних ресурсів, $p(t)$ — забруднення, яке спричинює одна особа. Нехай $x,y\in [0,\infty )$ і $z,p\in [0,1]$, тоді, використовуючи наступні рекурентні співвдношення, отримаємо зміни даних змінних в дискретному часі.

${\begin{aligned}\qquad x(t+1)&=x(t)\left[1+b{\Big (}y(t),z(t){\Big )}-d{\Big (}y(t),z(t){\Big )}\right],\\\qquad y(t+1)&=y(t)\left(1+\gamma -(\gamma +\eta ){\Big [}1-z(t){\Big ]}^{\lambda }\right),\\\qquad z(t+1)&={\frac {g{\Big (}x(t),y(t),z(t),p(t){\Big )}}{1+g{\Big (}x(t),y(t),z(t),p(t){\Big )}}},\\\qquad p(t+1)&=p(t)(1-\chi ),\\\ &\ \\\!\!\!{\text{де,}}\qquad &\ \\\ &\ \\\qquad b(y,z)&=\beta _{0}\left[\beta _{1}-\left({\frac {e^{\beta y}}{1+e^{\beta y}}}\right)\right],\\\qquad d(y,z)&=\alpha _{0}\left[\alpha _{1}-\left({\frac {e^{\alpha y}}{1+e^{\alpha y}}}\right)\right]\qquad \left[1+\alpha _{2}(1-z)^{\theta }\right],\\\qquad g(x,y,z,p)&={\frac {z}{1-z}}\,e^{\,\delta z^{\rho }-\omega f(x,y,p)},\ {\text{і}}\\\qquad f(x,y,p)&=xyp.\end{aligned}}$

В загальному, дані рівняння залежать від 15 змінних

Сектор	Параметр
Економіка	$\ \gamma ,\ \eta ,\ \lambda$
Демографія	$\ \chi ,\ \delta ,\ \rho ,\ \omega$
Антропогенія	$\ \alpha ,\ \alpha _{0},\ \alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \beta ,\beta _{0},\ \beta _{1},\ \theta$

$b(y,z)$ і $y(z)$ позначають народжуваність і смертність відповідно, форма $f(x,y,p)$ випливає з гіпотези I = PAT.

Поведінка системи

Використовуючи техніку сценарного аналізу, Сандерсон у 1994 році припустив можливих два майбутніх сценаріїв для ідеального світу. Перший, названий Мрія, описує можливість стійкого безкінечного розвитку, а другий, Хоррор — руйнування навколишнього середовища і вимирання населення, тобто відбудеться кінець світу. Подальша праця (Когрінг, 2006) показує, що параметри можуть бути поділені на дві секції: ті, що приводять до сценарію Мрія та ті, що призводять до Хоррору. Також, рівняння ідеального світу показують і теорію хаосу (Gröller, et al., 1996, Wegenkittl, et al., 1997, Leeves and Herbert, 1998).

Уникнення колапсу

В базовій моделі уникнення поганого сценарію є неможливим, тому необхідно змінити саму модель. Були вивчені такі дві зміни: зниження рівня забруднення та уникнення забруднення.

Зниження рівня забруднення

Послаблення ефекту забруднення призводять до необхідності знаходження ресурсів для очищення середовища (Sanderson, 1994). Це збільшує значення $y$, яке входить в рівняння народження $b$ та смертності $d$:

${\begin{aligned}y^{\prime }=y-\phi (1-z)^{\mu }y\end{aligned}}$

Еволюція в часі $y(t)$ не впливає на рівняння, оскільки товари і послуги, необхідні для зменшення забруднення мають бути включені в загальне виробництво. Вплив на зміни навколишнього середовища виражається зміною $f$:

${\begin{aligned}f(x,y,p)=xyp-\kappa {\frac {e^{\epsilon \phi (1-z)^{\mu }yx}}{1+e^{\epsilon \phi (1-z)^{\mu }yx}}}\end{aligned}}$

Ці зміни призводять до вводу нових параметрів в модель:

Сектор	Параметри
Політичні важелі	$\ \phi ,\ \mu ,\ \kappa$

Врегулювання за допомогою цих важелів допоможуть очистити середовище і уникнути сценарію Хоррор. Проте, даний засіб є тимчасовим, після стійкого зростання протягом короткого часу, система знову руйнується і потребує відновлення. Цей цикл може тривати вічність.

Уникнення забруднення

Частка продукції, необхідна для очищення середовища, з часом зростає настільки, що саме виробництво стає невигідним. Це моделюється за допомогою так званого податку на забруднення (Herbert and Leeves, 1998, Lempert, et al., 2003):

${\begin{aligned}y(t+1)&=y(t)\left(1+\gamma -\left(\gamma +\eta \right){\Big [}1-z(t){\Big ]}^{\lambda }-\gamma _{0}\,{\frac {\tau }{1-\tau }}\right),\\p(t+1)&=p(t)\left(1-\chi -\chi _{0}{\frac {\tau }{1+\tau }}\right).\\\end{aligned}}$

Новими параметрами в цій моделі є:

Сектор	Параметр
Політичні важелі	$\ \gamma _{0},\ \chi _{0},\ \tau$

З цими змінами, при підвищенні податку $\tau$, система ніколи не руйнуватиметься. Даний параметр не залежить від інших, тому його можна завжди збільшувати, що призводитиме до нескінченного стійкого зростання (Kohring, 2006).

Варіації

Функція продукції

Замість простого рівняння економічного росту $y(t)$, деякі дослідники використовують виробничу функцію Коба-Дугласа.

Кілька країн

Стандартно в моделі ідеального світу розглядається одна сутність. (Herbert et al., 2005) розширив цю модель до моделі з багатьма країнами. Це дозволяює розглядати зв'язки між сутностями, наприклад, торгівлю.

Джерела

• Cohen, J.E. (1995). How Many People can the Earth Support?. New York: W. W. Norton & Company.
• Frigg, R.; Hartmann, S. (2009). Models in Science. У Zalta, E.N. (ред.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Архів оригіналу за 17 березня 2019. Процитовано 18 травня 2017.
• Gröller, E.; Wegenkittl, R.; Milik, A; Prskawetz, A.; Feichtinger, G.; Sanderson, W.C. (1996). The geometry of wonderland. Chaos, Solitons & Fractals. 7: 1989—2006. doi:10.1016/s0960-0779(96)00067-7.
• Herbert, R.D.; Leeves, G. D. (1998). Troubles in Wonderland. Complexity International. 6: 1—20.
• Herbert, R.D.; Bell, R.D.; Leeves, G. D.; Lewis, B.G. (December 12–15, 2005). Economic and Environmental Impacts of Pollution Control in a Multi-Country Model.. У Zerger, A.; Argent, R.M. (ред.). MODSIM05 Proceedings. MODSIM2005. с. 1035—1041.
• Kohring, G.A (2006). Avoiding Chaos in Wonderland. Physica A. 368: 214—224. doi:10.1016/j.physa.2006.01.061.
• Leeves, G. D.; Herbert, R.D. (2002). Economic and environmental impacts of pollution control in a system of environment and economic interdependence. Chaos, Solitons & Fractals. 13: 693—700. doi:10.1016/s0960-0779(01)00003-0.
• Lempert, R.J.; Popper, S.W.; Bankes, S.C. (2003). Shaping the Next One Hundred Years: New Methods for Quantitative, Long-Term Policy Analysis. Santa Monica: Rand.
• Sanderson, W.C. (1994), Simulation Models of Demographic, Economic, and Environmental Interactions, у Lutz, W. (ред.), Population, Development, Environment: Understanding Their Interactions in Mauritius, Berlin: Springer, с. 33—71
• Wegenkittl, R.; Grõller, E.; Purgathofer, W. (1997). Visualizing the Dynamical Behavior of Wonderland. IEEE Computer Graphics and Applications. 17: 71—79. doi:10.1109/38.626972.
• Петлін, В.М. (2007). Екологічні механізми організації природних територіальних систем. Львів: ВЦ ЛНУ ім. І. Франка.