Поліноміальна теорема - це узагальнення бінома Ньютона:
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{m}^{k_{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3cf8b8691a0d36716d7553ec6a07be490796b78)
Числа
називаються поліноміальними (мультиноміальними) коефіцієнтами. Їх визначено для всіх цілих невід’ємних чисел
і
таких, що
:
.
![{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0618a64f7b9624fd8ae0df67100096d16cf016c2)
Біноміальний коефіцієнт
для невід’ємних
є частковим випадком мультиноміального коефіцієнта (для
), а саме
.
В комбінаторному сенсі мультиноміальний коефіцієнт
дорівнює числу впорядкованих розбиттів
-елементарної множини на
підмножини потужностей
.
Формулювання теореми можна записати в стислій формі використовуючи мультиіндекси:
![{\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc6ec7c98dbbb25a3f874ee1118e2892a128822)
де α = (α1,α2,…,αm) and xα = x1α1x2α2⋯xmαm.
Це доведення теореми з використанням біному Ньютона і математичної індукції по m.
Спочатку для m = 1, дві сторони рівності рівні x1n так як існує тільки один член k1 = n в сумі. Для кроку індукції, припустимо що поліноміальна теорема вірна для т.
Потім
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d63bde336f89f8b7df62d788a733b2294c86590)
![{\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f10fe42276eda1364f2cf4e499aca43a28fb733)
ідучи за припущенням індукції. Застосовуючи біном до останнього фактору,
![{\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700d5ffcfe1326131b0a75b1c16b5bfa5a10410f)
![{\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22353333d5fb55b5b01c209c7aefafe1f630bbe6)
який завершує індукцію. Останній крок випливає з цього:
![{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b2f4b3a147691c33e91e95242ce7323ed2232d)
в цьому легко переконатися записавши три коефіцієнти з використанням факторіалів наступним чином:
![{\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfe00db0b498412d198e56b4af8b4d2d8c1c73a)
![{\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}=m^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba10ef86cf4bcab4e2da22b6b239f73585a35a1)
Можна використовувати поліноміальну теорему для узагальнення трикутника Паскаля або піраміди Паскаля до симплекса Паскаля. Це забезпечує швидкий спосіб створення таблиці підстановки для поліноміальних коефіцієнтів.
- Карнаух Т.О. Комбінаторика[недоступне посилання з липня 2019]