Нотація Фогта

Нотація Фогта — матрична форма запису симетричного тензора 4-го рангу. Вперше була запропонована німецьким фізиком Вольдемаром Фогтом для тензора пружності в формулюванні закону Гука для анізотропних матеріалів.

Позначення

Якщо тензор 4-ранга $c_{ijkl}$ є симетричним за першою і другою парою індексів

$c_{ijkl}=c_{jikl}$,

$c_{ijkl}=c_{ijlk}$,

то його елементи можуть бути записані у вигляді матриці 6x6, використовуючи наступну підстановку індексів:

$11\rightarrow 1$

$22\rightarrow 2$

$33\rightarrow 3$

$23,32\rightarrow 4$

$13,31\rightarrow 5$

$12,21\rightarrow 6$.

Наприклад, компонента $c_{3122}$ буде відповідати елементу матриці $C_{52}$.

Використовуючи ті ж підстановки індексів, можна записувати симетричні тензори 2 рангу у вигляді 6 векторів. При такому поданні результат множення тензорів, взагалі кажучи, не відповідають результату множення матриць. Для того, щоб операція тензорного множення могла бути записана у вигляді множення матриць, може знадобитися введення додаткових множників.

Той факт, що тензор пружності має щонайбільше 21 незалежну копоненту дозволяє записати закон Гука в простішій формі з використанням матриць 6х6.

При цьому вводяться такі позначення:

$\varepsilon _{i}=\varepsilon _{ii},\qquad \sigma _{i}=\sigma _{ii}$

для i = 1,2,3.

$\varepsilon _{4}=\varepsilon _{23}+\varepsilon _{32},\qquad \sigma _{4}=\sigma _{23}+\sigma _{32}$,

$\varepsilon _{5}=\varepsilon _{13}+\varepsilon _{31},\qquad \sigma _{5}=\sigma _{13}+\sigma _{31}$,

$\varepsilon _{6}=\varepsilon _{12}+\varepsilon _{21},\qquad \sigma _{6}=\sigma _{12}+\sigma _{21}$.

Матричний запис закону Гука

Тоді матриця жорсткості визначається за допомогою співвідношення

$\left({\begin{matrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&c_{16}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}&c_{24}&c_{25}&c_{26}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}&c_{34}&c_{35}&c_{36}\\c_{41}&c_{42}&c_{43}&c_{44}&c_{45}&c_{46}\\c_{51}&c_{52}&c_{53}&c_{54}&c_{55}&c_{56}\\c_{61}&c_{62}&c_{63}&c_{64}&c_{65}&c_{66}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{matrix}}\right)$

Матриця жорсткості симетрична

$c_{ik}=c_{k1}$,

а тому здебільшого її зображають в трикутній формі

$\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&c_{16}\\&c_{22}&c_{23}&c_{24}&c_{25}&c_{26}\\&&c_{33}&c_{34}&c_{35}&c_{36}\\&&&c_{44}&c_{45}&c_{46}\\&&&&c_{55}&c_{56}\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)$

Такий загальний вигляд матриця жорсткості має для кристалів найнижчої симетрії. Для кристалів високої симетрії матриця жорсткості має менше незалежних елементів і її вигляд спрощується. Наприклад, для ізотропного середовища залишається лише два незалежних елементи.

Матриця жорсткості для різних сингоній

Триклінна сингонія

Матриця жорсткості має загальний вигляд із 21-м незалежним елементом.

Моноклінна сингонія

Тринадцять незалежних пружніх сталих

$\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&c_{15}&0\\&c_{22}&c_{23}&0&c_{25}&0\\&&c_{33}&0&c_{35}&0\\&&&c_{44}&0&c_{46}\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)$

Ромбічна сингонія

9 незалежних елементів

$\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0\\&c_{22}&c_{23}&0&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)$

Тетрагональна сингонія

Кристалічні класи 4, ${\bar {4}}$, 4/m мають матрицю жорсткості з 7-ма незалежними модулями пружності:

$\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&c_{16}\\&c_{11}&c_{13}&0&0&-c_{16}\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)$

Кристалічні класи 422, 4mm, ${\bar {4}}$2m, 4/mmm мають 6 незалежних елементів

$\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&0\\&c_{11}&c_{13}&0&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)$

Тригональна сингонія

Кристалічні класи ${\bar {3}}$ і 3 характеризуютья 7-а незалежними модулями пружності

$\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&-c_{15}&0\\&c_{11}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&c_{15}\\&&&&c_{55}&c_{14}\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)$

Кристалічні класи 32б 3m та ${\bar {3}}$m характеризуються 6-ма незалежними модулями

$\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&0&0\\&c_{11}&c_{13}&-c_{14}&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&c_{14}\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)$

Гексагональна сингонія

Для гексагональної сингонії існує 5 незалежних елементів матриці пружності

$\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0\\&c_{11}&c_{13}&0&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{44}&0\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)$

Кубічна сингонія

Три незалежних модулі пружності

$\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0\\&c_{11}&c_{12}&0&0&0\\&&c_{11}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{44}&0\\&&&&&c_{44}\\\end{matrix}}\right)$

Ізотропне середовище

Два незалежних модулі пружності

$\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0\\&c_{11}&c_{12}&0&0&0\\&&c_{11}&0&0&0\\&&&(c_{11}-c_{12})/2&0&0\\&&&&(c_{11}-c_{12})/2&0\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)$

Джерела

• Кучин В.А., Ульянов В.Л. (1986). Упругие и неупругие свойства кристаллов. Москва: Энергоатомиздат.
• М.А. Акивис, В.В. Гольдберг. Тензорное исчисление. — М. : Наука, 1969. — 352 с.
• В. Новацкий. Теория упругости / пер. Б. Е. Победря. — М. : "Мир", 1975. — 871 с.
• Т.Д. Шермергор. Теория упругости микронеоднородных сред. — М. : "Наука", 1977. — 399 с.