Нотація побудови множини

Нотація побудови множини (англ. set-builder, англ. set-former)  — математична нотація в теорії множин та її застосуваннях, зокрема в математиці, логіці та інформатиці, що описує множину заданням умови, яка повинна виконуватись для всіх її елементів.

Задання переліченням

Можливе задання множини за допомогою перечислення її елементів та з використання знаку «три крапки»:

• $\{a,c,b\}$ множина елементів 'a','b','c'.
• $\{1,2,3,\ldots ,100\}$ множина всіх чисел від 1 до 100 включно.
• $\{0,1,2,\ldots \}$ множина всіх натуральних чисел.

Формальне задання

$S=\{\,\underbrace {2\cdot x} _{\color {Violet}{\text{output expression}}}\mid \underbrace {x} _{\color {Violet}{\text{variable}}}\in \underbrace {\mathbb {N} } _{\color {Violet}{\text{input set}}},\ \underbrace {x^{2}>3} _{\color {Violet}{\text{predicate}}}\,\}$

• $x$ — змінна, що означає елемент вхідної множини;
• $\mathbb {N}$ — означає вхідну множину, в даному випадку це множина натуральних чисел;
• $x^{2}>3$ — предикат, що діє як фільтр на елементи вхідної множини.
• $2\cdot x$ — вираз, що продукує члени вихідної множини із членів вхідної множини, що задовольняють предикат.
• $\{\}$ — дужки, позначають, що результатом є множина.
• $\mid$ $,$ — вертикальна лінія та кома є сепараторами.

Нотація побудови списку є аналогічною, але замість вхідної множини використовують вхідний список чи ітератор.

Парадокс Рассела

Парадокс Рассела записується у вигляді $R=\{S~|~S\notin S\}$.

В мовах програмування

Подібна нотація також часто зустрічається в мовах програмування, див. спискові вирази.

Див. також

• Нотація множин
• Z-нотація

Джерела

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Hopcroft, John E.; Motwani, Rajeev; Ullman, Jeffrey D. (2001). Вступ до теорії автоматів, мов і обчислень (вид. 2nd). Addison–Wesley. с. 521.(англ.)