Нуль у нульовому степені

Графік функції z = x^y поблизу x = 0, y = 0

Вираз $0^{0}$ (нуль в нульовому степені) багато підручників вважають невизначеним і позбавленим сенсу. Пов'язано це з тим, що функція двох змінних $f(x,y)=x^{y}$ в точці $(0,0)$ має неусувний розрив. Справді, уздовж додатного напрямку осі $X,$ де $y=0,$ вона дорівнює одиниці, а вздовж додатного напрямку осі $Y,$ де $x=0,$ вона дорівнює нулю. Тому ніяка домовленість про значення $0^{0}$ не може дати неперервну в нулі функцію.

Деякі автори пропонують домовитись про те, що цей вираз дорівнює 1. На користь такого варіанту наводяться кілька доводів. Наприклад, розклад у ряд експоненти:

$e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

можна записати коротше, якщо прийняти $0^{0}=1$ :

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

(наша домовленість використовується при $x=0,\ n=0$).

Якщо 0 відносити до натуральних чисел, то піднесення до натурального степеня можна визначити так:

$a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n},$

і тоді піднесення будь-якого числа (зокрема й нуля) до нульового степеня даватиме 1.

Інше обґрунтування домовленості $0^{0}=1$ спирається на «Теорію множин» Бурбакі: число різних відображень n -елементної множини в m-елементну дорівнює $m^{n},$ при $m=n=0$ отримуємо відображення порожньої множини в порожню, а воно єдине. Зрозуміло, це не можна вважати доведенням (домовленості не потребують доведень), тим більше що в самій теорії множин домовленість $0^{0}=1$ не використовується.

В будь-якому випадку домовленість $0^{0}=1$ чисто символічна, і вона не може використовуватися ні в алгебраїчних, ні в аналітичних перетвореннях через розривність функції в цій точці. Приклад для аналітичних обчислень: вираз $(a^{-1/t})^{t},$ де $a$ — довільне додатне дійсне число. При $t\to 0$ ми отримуємо невизначеність типу $0^{0},$ і, якщо не відрізняти граничну форму $0^{0}$ (де кожен з нулів позначає прямування до нуля) і значення $0^{0}$ (де кожен з нулів і є нуль), можна помилково порахувати, що границя дорівнює 1. Насправді цей вираз тотожно дорівнює $a^{-1}.$ Це означає, що нескінченно мала в нескінченно малому степені може в границі дати будь-яке значення, не обов'язково одиницю. Подібних помилок можна припуститися, якщо використовувати домовленість в алгебричних перетвореннях.

Історія різних точок зору

Дискусія з приводу визначення $0^{0}$ триває, принаймні, з початку XIX століття. Багато математиків тоді приймали цю угоду, але в 1821 році Коші відніс $0^{0}$ до невизначеностей, таких, як ${\frac {0}{0}}.$ У 1830-х роках Лібрі опублікував непереконливий аргумент на користь $0^{0}=1$ (див. Функція Гевісайда § Історія), і Мебіус став на його сторону, помилково заявивши, що $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1$ щоразу, коли $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0$. Оглядач, який підписався просто як «S», надав контрприклад $(e^{-1/t})^{t}$, і це трохи заспокоїло дебати. Більше історичних деталей можна знайти в книзі Кнута (1992) .

Пізніші автори інтерпретують описану вище ситуацію по-різному. Деякі стверджують, що оптимальне значення для $0^{0}$ залежить від контексту, і тому визначити його раз і назавжди проблематично. Згідно з Бенсоном (1999), «вибір, чи слід визначати $0^{0},$ ґрунтується на зручності, а не на правильності. Якщо ми утримаємося від визначення $0^{0}$, то деякі твердження стають надмірно незручними. <…> Консенсус полягає у використанні визначення $0^{0}=1$, хоча є підручники, які утримуються від визначення $0^{0}$».

Частина математиків вважає, що $0^{0}$ має бути визначено як 1. Наприклад, Кнут (1992) впевнено стверджує, що $0^{0}$ «має бути 1», розрізняючи значення $0^{0}$, яке має дорівнювати 1, як це було запропоновано Лібрі, і граничну форму $0^{0}$ (абревіатура для границі $f(x)^{g(x)}$ де $f(x),g(x)\to 0$), яка обов'язково є невизначеністю, як зазначено Коші: «І Коші, й Лібрі мали рацію, але Лібрі та його захисники не розуміли, чому істина на їхньому боці».

Авторитетний сайт MathWorld, навівши думку Кнута, все ж констатує, що зазвичай значення $0^{0}$ вважається невизначеним, незважаючи на те, що домовленість $0^{0}=1$ дозволяє в деяких випадках спростити запис формул. Велика радянська енциклопедія та деякі інші джерела характеризують $0^{0}$ як вираз, що не має сенсу (невизначеність).

Розкриття невизначеності 0⁰

Якщо дано дві функції $f(x)$ і $g(x)$, які прямують до нуля, то границя $f(x)^{g(x)}$ в загальному випадку може бути будь-якою, таким чином, з цієї точки зору $0^{0}$ є невизначеністю. Для знаходження границі $f(x)^{g(x)}$ в цьому випадку користуються методами розкриття невизначеності, як правило спочатку взявши логарифм від цього виразу: $\ln \left(f(x)^{g(x)}\right)=\ln {\big (}f(x){\big )}g(x)$, а потім скориставшись правилом Лопіталя.

Однак, за певних умов ця границя буде завжди дорівнювати одиниці. А саме: якщо функції $f$ і $g$ є аналітичними в точці $0$ (тобто в деякому околі точки $0$ збігаються зі своїм рядом Тейлора), і $f(0)=g(0)=0$, а $f(x)>0$ в околі $(0,\delta )$, то границя $f(x)^{g(x)}$ при $x$ яке прямує до нуля справа дорівнює 1.

Наприклад, таким чином можна відразу переконатися, що

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1,$

$\lim _{x\to 0^{+}}(\sin x)^{\operatorname {tg} x}=1,$

$\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{x+1}-x\right)^{x}=1.$

При цьому треба не забувати, що якщо хоча б одна з функцій не розкладається в ряд Тейлора в точці 0, то границя може бути будь-якою, або її може не існувати. Наприклад,

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{a/\ln x}=e^{a},$

$\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{-1/x}\right)^{x}=e^{-1}.$

У комп'ютерах

Стандарт IEEE 754-2008, що описує формат подання чисел з рухомою комою, визначає три функції піднесення до степеня:

• Функція для піднесення до цілого степеня: $\operatorname {pown} (x,y)$ . Відповідно до стандарту, $\operatorname {pown} (x,0)=1$ для будь-якого $x$, зокрема, коли $x$ дорівнює нулю, NaN або нескінченності.
• Функція для піднесення до довільного степеня: $\operatorname {powr} (x,y)$ — по суті рівна $\exp {\big (}y\log(x){\big )}$. Відповідно до стандарту, $\operatorname {powr} (\pm 0,\pm 0)$ повертає значення «не число» NaN.
• Функція для піднесення до довільного степеня, яка особливо визначена для цілих чисел: $\operatorname {pow} (x,y)$. Відповідно до стандарту, $\operatorname {pow} (x,\pm 0)=1$ для всіх $x$ (так само як і $\operatorname {pown} (x,0)$).

У багатьох мовах програмування нуль в нульовому степені дорівнює 1. Наприклад, в C++: pow(0, 0) == 1, у мові Haskell це правильно для всіх трьох стандартних операцій піднесення до степеня: 0^0 == 1, 0^^0 == 1, 0**0 == 1.

Література

• Степенная функция // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)