Функція
f
(
x
)
=
x
2
+
sign
x
{\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} x}
−
1
,
{\displaystyle -1,}
+
1
,
{\displaystyle +1,}
0
{\displaystyle 0}
x
=
0.
{\displaystyle x=0.}
Одностороння границя в математичному аналізі — границя функції дійсної змінної, яка передбачає прямування до граничної точки тільки з одного боку — зліва або справа. Такі границі називають відповідно лівосторонньою границею (або лівою границею ) та правосторонньою границею (або правою границею ).
Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне .
Нехай
A
⊂
R
{\displaystyle A\subset \mathbb {R} }
A
≠
∅
{\displaystyle A\neq \emptyset }
x
0
{\displaystyle x_{0}}
гранична точка множини
A
{\displaystyle A}
f
:
A
→
R
{\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }
Означення правосторонньої границі
Нехай
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A
{\displaystyle A}
γ
>
0
{\displaystyle \gamma >0}
(
x
0
,
x
0
+
γ
)
⊂
A
{\displaystyle (x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A}
a
{\displaystyle a}
правосторонньою границею функції
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
x
∈
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
{\displaystyle x\in (x_{0},x_{0}+\delta )}
|
f
(
x
)
−
a
|
<
ε
{\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon }
Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
,
lim
x
→
x
0
+
0
f
(
x
)
,
lim
x
↓
x
0
f
(
x
)
,
lim
x
↘
x
0
f
(
x
)
;
{\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\searrow x_{0}}f(x);}
Означення лівосторонньої границі
Нехай
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A
{\displaystyle A}
γ
>
0
{\displaystyle \gamma >0}
(
x
0
−
γ
,
x
0
)
⊂
A
{\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A}
a
{\displaystyle a}
лівосторонньою границею функції
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
x
∈
(
x
0
−
δ
,
x
0
)
{\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})}
|
f
(
x
)
−
a
|
<
ε
{\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon }
Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
,
lim
x
→
x
0
−
0
f
(
x
)
,
lim
x
↑
x
0
f
(
x
)
,
lim
x
↗
x
0
f
(
x
)
.
{\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow x_{0}}f(x).}
Використовуються також наступні скорочення:
f
(
x
0
+
)
{\displaystyle f\left(x_{0}+\right)}
f
(
x
0
+
0
)
{\displaystyle f\left(x_{0}+0\right)}
f
(
x
0
−
)
{\displaystyle f\left(x_{0}-\right)}
f
(
x
0
−
0
)
{\displaystyle f\left(x_{0}-0\right)}
Означення правосторонньої границі
Нехай
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A
{\displaystyle A}
γ
>
0
{\displaystyle \gamma >0}
(
x
0
,
x
0
+
γ
)
⊂
A
{\displaystyle (x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A}
p
{\displaystyle p}
правосторонньою границею фунції
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
, якщо для будь-якої послідовності
{
a
n
}
n
=
0
+
∞
⊂
A
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0}^{+\infty }\subset A}
a
n
>
x
0
{\displaystyle a_{n}>x_{0}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
збігається до числа
x
0
{\displaystyle x_{0}}
{
f
(
x
n
)
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}
p
{\displaystyle p}
Означення лівосторонньої границі
Нехай
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A
{\displaystyle A}
γ
>
0
{\displaystyle \gamma >0}
(
x
0
−
γ
,
x
0
)
⊂
A
{\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A}
p
{\displaystyle p}
правосторонньою границею фунції
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
, якщо для будь-якої послідовності
{
a
n
}
n
=
0
+
∞
⊂
A
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0}^{+\infty }\subset A}
a
n
<
x
0
{\displaystyle a_{n}<x_{0}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
x
0
{\displaystyle x_{0}}
{
f
(
x
n
)
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}
p
{\displaystyle p}
Якщо обидві односторонні границі існують в точці
x
0
{\displaystyle x_{0}}
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Приклад 1: Лівою та правою границями функції
g
(
x
)
=
−
1
x
{\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{x}}}
x
→
0
{\displaystyle x\to 0}
lim
x
→
0
−
−
1
/
x
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0-}{-1/x}=+\infty }
lim
x
→
0
+
−
1
/
x
=
−
∞
.
{\displaystyle \lim _{x\to 0+}{-1/x}=-\infty .}
Причина, чому
lim
x
→
0
−
−
1
/
x
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0-}{-1/x}=+\infty }
x
{\displaystyle x}
x
→
0
−
{\displaystyle x\to 0-}
−
1
/
x
{\displaystyle -1/x}
lim
x
→
0
−
−
1
/
x
{\displaystyle \lim _{x\to 0-}{-1/x}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
Аналогічно,
lim
x
→
0
+
−
1
/
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0+}{-1/x}=-\infty }
x
{\displaystyle x}
x
→
0
+
{\displaystyle x\to 0+}
−
1
/
x
{\displaystyle -1/x}
lim
x
→
0
+
−
1
/
x
{\displaystyle \lim _{x\to 0+}{-1/x}}
−
∞
.
{\displaystyle -\infty .}
Графік функції
1
/
(
1
+
2
−
1
/
x
)
.
{\displaystyle 1/(1+2^{-1/x}).}
Приклад 2: Одним із прикладів функцій з різними односторонніми границями є
f
(
x
)
=
1
1
+
2
−
1
/
x
,
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},}
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0-}f(x)=0}
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
1.
{\displaystyle \lim _{x\to 0+}f(x)=1.}
Використовуючи попередній приклад, отримуємо:
lim
x
→
0
−
2
−
1
/
x
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0-}2^{-1/x}=+\infty }
lim
x
→
0
+
2
−
1
/
x
=
0.
{\displaystyle \lim _{x\to 0+}2^{-1/x}=0.}
Тому
lim
x
→
0
+
1
1
+
2
−
1
/
x
=
1
1
+
lim
x
→
0
+
2
−
1
/
x
=
1
1
+
0
=
1
,
{\displaystyle \lim _{x\to 0+}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1,}
а
lim
x
→
0
−
1
1
+
2
−
1
/
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0-}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}
lim
x
→
0
−
(
1
+
2
−
1
/
x
)
=
+
∞
.
{\displaystyle \lim _{x\to 0-}(1+2^{-1/x})=+\infty .}
Отже,
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
≠
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
,
{\displaystyle \lim _{x\to 0-}f(x)\neq \lim _{x\to 0+}f(x),}
lim
x
→
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}
.svg)
).svg)
