Обхват (теорія графів)

Обхват в теорії графів — довжина найкоротшого циклу, що міститься в заданому графі. Якщо граф не містить циклів (тобто є ациклічним графом), його обхват за визначенням дорівнює нескінченності. Наприклад, 4-цикл (квадрат) має обхват 4. Квадратна ґратка має також обхват 4, а трикутна сітка має обхват 3. Граф з обхватом чотири і більше не містить трикутників.

Клітки

Кубічні графи (всі вершини мають степінь три) з якомога меншим обхватом $g$ відомі як $g$-клітка (або як (3,$g$)-клітка). Граф Петерсена — це єдина 5-клітка (найменший кубічний граф з обхватом 5), граф Хівуда — це єдина 6-клітка, Граф Маꥳ — це єдина 7-клітка, а граф Татта — Коксетера — це єдина 8-клітка. Може існувати кілька кліток для даного обхвату. Наприклад, існує три неізоморфних 10-клітки, кожна з 70 вершинами — 10-клітка Балабана, граф Харріса і граф Харріса—Вона.

• 
  Граф Петерсена має обхват 5
• 
  Граф Хівуда має обхват 6
• 
  Граф Маꥳ має обхват 7
• 
  Граф Татта — Коксетера (8-клітка Татта) має обхват 8

Обхват і розфарбовування графа

Для будь-якого додатного цілого $k$ існує граф $G$ з обхватом $g(G)\geqslant k$ і хроматичним числом $\chi (G)\geqslant k$. Наприклад, граф Ґрьоча є графом без трикутників і має хроматичне число 4, а багаторазове повторення побудови мичельськіана, що використовується для створення графа Ґрьоча, утворює графи без трикутників з як завгодно великим хроматичним числом. Пол Ердеш довів цю теорему, використовуючи імовірнісний метод.

План доведення. Назвемо цикли довжиною не більше $k$ короткими, а множини з $|G|/k$ і більше вершин — великими. Для доведення теореми достатньо знайти граф $G$ без коротких циклів і великих незалежних множин вершин. Тоді множина кольорів в розфарбовуванні не будуть більшими, і, як наслідок, для розфарбування потрібно $k$ кольорів.

Щоб знайти такий граф, будемо фіксувати ймовірність вибору $p$, що дорівнює $n^{\varepsilon -1}$. При маленьких $\varepsilon$ в $G$ виникає лише мале число коротких циклів. Якщо тепер видалити по вершині з кожного такого циклу, отриманий граф $H$ не матиме коротких циклів, а його число незалежності буде не менше, ніж у графа $G$.

Пов'язані концепції

Непарний обхват і парний обхват графа — це коли довжина найменшого непарного циклу і найменшого парного циклу відповідно.

Окружність графа — це довжина найбільшого по довжині циклу, а не найменшого.

Спроби оцінити довжину найменшого нетривіального циклу можна розглядати як узагальнення 1-систоли або більшої систоли в систолічній геометрії.