Ортогональна траєкторія

Ортогональні траєкторії — лінії, що перетинають задане сімейство кривих під прямим кутом. Якщо $y_{1}'$ — кутовий коефіцієнт дотичної до ортогональної траєкторії, а $y_{2}'$ — кутовий коефіцієнт дотичної до кривої даного сімейства, то $y_{1}'$ і $y_{2}'$ повинні в кожній точці відповідати умові ортогональності:

$y_{1}'=-{1 \over y_{2}'}$

Нехай у нас є сімейство кривих $g(x,y)=C$, де $C$ — константа. Тоді ортогональні траєкторії можуть бути знайдені шляхом розв'язку системи диференціальних рівнянь:

$\nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=0$

Використовуючи визначення градієнта, можна записати:

$\nabla f(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$

Таким чином:

$\nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\cdot \left({\frac {\partial g}{\partial x}},{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}=0$

Приклади

Ортогональні траєкторії сімейства прямих ліній, що проходять через початок координат

Нехай у нас є сімейство прямих ліній, що проходять через початок координат, заданих рівнянням $y=kx$. Диференціюючи дане рівняння по змінній $x$, отримуємо:

$y'=k=const$

Виключимо параметр $k$ із системи:

$~\mathrm {{\begin{cases}y=kx\\y'=k\end{cases}}\Rightarrow y'={\frac {y}{x}}}$

Замінимо $y'$ на $\left(-{\frac {1}{y'}}\right)$:

$-{\frac {1}{y'}}={\frac {y}{x}}\Rightarrow y'=-{\frac {x}{y}}\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}$

Ми отримали своєрідне диференціальне рівняння з перемінними. Інтегруючи, отримуємо:

$ydy=-xdx\Rightarrow \int {ydy}=-\int {xdx}\Rightarrow {\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}=C$

Дане рівняння є ніщо інше, як рівняння кола радіуса ${\sqrt {2C}}$. Дійсно:

$R^{2}=2C\Rightarrow x^{2}+y^{2}=R^{2}$

Література

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (стор. 23, Приклад 8)

Посилання

• Ортогональні траєкторії [Архівовано 2 листопада 2014 у Wayback Machine.](рос.)