Перетворення Жуковського

Приклад дії перетворення Жуковського — коло зверху відображене в профіль крила літака.

Перетворення Жуковського або функція Жуковського, в прикладній математиці, конформне відображення, що використовується для розуміння деяких принципів побудови профілів крила. Назване на честь Миколи Жуковського, одного із відомих вчених в галузі аеродинаміки.

Функція Жуковського визначається як перетворення комплексної площини $f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {C}$ за формулою:

$f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)$

Вона відноситься до класичних елементарних функцій комплексного аналізу, оскільки більшість тригонометричних та гіперболічних функцій можна подати в вигляді суперпозиції експоненти і функції Жуковського.

Застосування її в аеродинаміці базується на тому факті, що функція Жуковського перетворює коло в якусь замкнуту криву, подібну до профіля крила літака в розрізі. Варіацією радіусу і положення кола щодо $0$ можна змінювати кут вигину і товщину крила.

Розрахунок потенційного потоку для кола (у двовимірному випадку) виконується досить просто. Далі можна застосувати до результату перетворення Жуковського і отримати потенційний потік для профілю крила, що відповідає даному околу. На підставі цього можна робити висновки про можливості використання моделі ідеального газу для визначення силових характеристик взаємодії потоку з крилом.

Перетворення Кармана — Трефтца

Для більш тонкої побудови застосовується представлення функції Жуковського у вигляді суперпозиції трьох функцій, у кожній з яких може бути присутнім якийсь параметр. Укупі з варіацією кола, що відображається, так звана узагальнена функція Жуковського та перетворення Кармана — Трефтца являє собою потужний інструмент для моделювання:

$f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)=S_{3}(S_{2}(S_{1}(z)))$, де

$S_{3}(z)={\frac {1+z}{1-z}}$,

$\displaystyle S_{2}(z)=z^{2}$,

$S_{1}(z)={\frac {z-1}{z+1}}$.

Посилання

• Joukowski Transform Module by John H. Mathews
• Joukowski Transform NASA Applet