Повнократне число
Повнократне число — додатне ціле число, яке ділиться без остачі квадратом кожного свого простого дільника .
Еквівалентне визначення: число, яке пожна подати у вигляді , де і — додатні цілі числа (натуральні числа).
Повнократні числа систематично вивчені Палом Ердеш і Дьйордем Секерешем, назву дав Соломон Ґоломб.
Список повнократних чисел між 1 і 1000 :
- 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972 1000.
Якщо , то будь-яке просте в розкладі входить двічі, а в — не менше трьох разів; так що будь-яке просте в розклад входить не менше, ніж у квадраті.
З іншого боку, нехай — повнократне число з розкладом
- ,
де кожне . визначимо рівним трьом, якщо непарне, і нулю в іншому випадку, і визначимо . Тоді всі значення є невід'ємними парними цілими, і всі значення або дорівнюють нулю, або трьом, так що:
дає шукане подання , як добуток квадрата і куба.
Іншими словами, для даного розкладу числа можна взяти як добуток простих множників, що входять у розклад з непарними степенями (якщо таких немає, то 1). Оскільки — повнократне, кожен простий множник, що входить у розклад з непарним степенем, має степінь не менше 3, так що є цілим. Тепер кожен простий множник має парний степінь, так що — повний квадрат, позначимо його як ; і виходить . Наприклад:
- ,
- ,
- ,
- .
Сума обернених величин повнократних чисел сходиться:
- ,
де — обходить всі прості числа, — дзета-функція Рімана, і — стала Апері (Голомб, 1970).
Нехай означає кількість повнократних чисел в інтервалі . Тоді пропорційне квадратному кореню з . Точніше:
- [1] .
Два найменших послідовних повнократних числа — це 8 і 9. Оскільки рівняння Пелля має нескінченне число розв'язків, то є й нескінченне число пар послідовних повнократних чисел[1].
Більш загально, можна знайти послідовні повнократні числа, знайшовши розв'язок рівняння, схожого на рівняння Пелля, для будь-якого куба . Проте одне з повнократних чисел у парі, отриманій таким чином, має бути квадратом. Згідно з Гаю, Ердеш ставив питання, чи нескінченне число пар повнократних чисел, аналогічних , у яких жодне з чисел у парі не є квадратом. Ярослав Вроблевський показав, що, навпаки, є нескінченно багато таких пар, показавши, що має нескінченно багато розв'язків.
Відповідно до гіпотези Ердеша — Молліна — Волша, не існує трьох послідовних повнократних чисел.
Будь-яке непарне число можна подати у вигляді різниці двох послідовних квадратів:
- .
Так само, будь-яке число кратне чотирьом можна подати у вигляді різниці двох чисел, що відрізняються на два: . Однак число, що ділиться на два, але не на чотири, не можна подати у вигляді різниці квадратів, тобто виникає питання: які парні числа, що не діляться на 4, можуть бути подані у вигляді різниці двох повнократних чисел.
Голомб дав кілька таких подань:
- 2 = 33 — 52
- 10 = 133 — 37
- 18 = 192 — 73 = 32 (33 — 52).
Спочатку висловлена гіпотеза, що число 6 можна подати в такому вигляді, і Голомб припустив, що є нескінченно багато цілих чисел, які можна подати у вигляді різниці двох повнократних чисел. Однак Нарківіч виявив, що існує нескінченно багато способів подання числа 6, наприклад
- 6 = 5473 — 4632,
і Макденіел [2] показав, що будь-яке число має нескінченну кількість таких подань.
Ердеш висловив гіпотезу, що будь-яке досить велике ціле число є сумою максимум трьох повнократних чисел. Гіпотезу довів Роджер Хіт-Браун[3].
-повнократні числа — числа, в розклад яких прості числа входять зі степенем, не меншим ніж .
, , є -повнократними в арифметичній прогресії.
Більше того, якщо є -повнократнимв в арифметичній прогресії з різницею , то:
є -повнократними числами в арифметичній прогресії.
Для — повнократних чисел має місце:
- .
Ця рівність дає нескінченно багато наборів довжини — повнократних чисел, суми яких теж -повнократнв. Нітадж[4] показав, що є нескінченно багато розв'язків рівняння серед взаємно простих 3-повнократних чисел. Кон[5] сконструював нескінченне сімейство розв'язків рівняння серед взаємно простих 3-повнократних чисел: трійка
- ,
- ,
є розв'язком рівняння .
Можливо сконструювати інший розв'язок, поклавши і прибираючи спільний дільник.
- Cohn, J. H. E. A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Math. Comp. — 1998. — Т. 67, вип. 221. — С. 439—440. — DOI:10.1090/S0025-5718-98-00881-3.
- Pál Erdős, György Szekeres. Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. Sci. Szeged. — 1934. — № 7. — С. 95—102.
- Solomon W. Golomb. Powerful numbers // American Mathematical Monthly. — 1970. — Т. 77, № 8. — С. 848—852. — DOI:10.2307/2317020. — JSTOR 2317020}.
- Richard K. Guy. Section B16 // Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 0-387-20860-7.
- Roger Heath-Brown. Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers. — Boston : Birkhäuser, 1988. — С. 137—163. — (Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7).
- Roger Heath-Brown. Sums of three square-full numbers. — Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51, 1990. — С. 163—171. — (Number Theory, I (Budapest, 1987)).
- Wayne L. McDaniel. Representations of every integer as the difference of powerful numbers // Fibonacci Quarterly. — 1982. — № 20. — С. 85—87.
- Abderrahmane Nitaj. On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Bull. London Math. Soc.. — 1995. — Т. 4, № 27. — С. 317—318. — DOI:10.1112/blms/27.4.317.
- Weisstein, Eric W. Powerful number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- The abc conjecture