Позбавлення від знаменників

У математиці метод позбавлення від знаменників, також званий позбавленням від дробів — техніка спрощення рівняння, в якому прирівнюються два вирази, кожен з яких є сумою раціональних виразів, включно зі звичайними дробами.

Приклад

Розглянемо рівняння

${\frac {x}{6}}+{\frac {y}{15z}}=1.$

Найменше спільне кратне двох знаменників $6$ і $15z$ дорівнює $30z$, тому обидві частини множимо на $30z$:

$5xz+2y=30z.\,$

Результатом є рівняння без дробів.

Спрощене рівняння не зовсім еквівалентне початковому: коли в останнє рівняння підставити $y=0$ і $z=0$, обидві частини спрощуються до $0$, тому отримуємо правильну рівність $0=0$. Але така ж заміна, застосована до початкового рівняння, призводить до $x/6+0/0=1$, що не має сенсу.

Опис

Без втрати загальності можна вважати, що права частина рівняння дорівнює 0, оскільки рівняння E₁ = E₂ можна еквівалентно переписати у вигляді E₁ − E₂ = 0.

Отже, нехай рівняння має вигляд

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=0.$

Першим кроком є визначення спільного знаменника D цих дробів — бажано найменшого спільного знаменника, який є найменшим спільним кратним Q_i.

Це означає, що кожен Q_i є множником D, тому D = R_iQ_i для деякого виразу R_i, який не є дробом. Потім

${\frac {P_{i}}{Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{R_{i}Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{D}}\,,$

за умови, що R_iQ_i не набуває значення 0 — у цьому випадку D також дорівнює 0.

Маємо

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {R_{i}P_{i}}{D}}={\frac {1}{D}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0.$

За умови, що D не набуває значення 0, останнє рівняння еквівалентне

$\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0\,,$

у якому знаменники відсутні.

Як показано вище, слід бути уважним, щоб уникнути сторонніх розв'язків, за яких D перетворюється на нуль.

Приклад 2

Розглянемо рівняння

${\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1}{x(x+2)}}-{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}=0.$

Найменший спільний знаменник дорівнює x(x + 1)(x + 2).

Дотримання методу, описаного вище, приводить до

$(x+2)+(x+1)-x=0.$

Подальше спрощення дає розв'язок x = −3.

Легко перевірити, що жоден із нулів x(x + 1)(x + 2) — а саме x = 0, x = −1 та x = −2 — не є розв'язком остаточного рівняння, тому хибних розв'язків немає.

Література

• Richard N. Aufmann; Joanne Lockwood (2012). Algebra: Beginning and Intermediate (вид. 3). Cengage Learning. с. 88. ISBN 978-1-133-70939-8.