Польський простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Польський простіртопологічний простір, гомеоморфний повному метричному простору із зліченною щільною підмножиною.

Приклади

[ред. | ред. код]

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Замкнуті відкриті підмножини польського простору є польськими просторами.
Оскільки польський простір є сепарабельним і на ньому можна ввести метрику, то і будь-який його підпростір із індукованою топологією є сепарабельним. Дійсно сепарабельний метричний простір задовольняє другу аксіому зліченності (множина куль у цій метриці із центрами у зліченній щільній підмножині і раціональними радіусами утворює зліченну базу топології). Тоді перетини елементів зліченної бази із підпростором утворює зліченну базу підпростору. Обравши точку в кожному елементі зліченної бази отримуємо зліченну щільну підмножину.
Залишається довести, що на відкритих і замкнутих підмножинах польського простору можна ввести повну метрику. Якщо розглянути деяку повну метрику на польському просторі, то її обмеження на замкнуту підмножину буде повною метрикою. Тому ця множина є польським простором.
Для відкритої підмножини U топологічного простору X позначимо доповнення цієї множини і для точки також позначимо Можна ввести метрику на U:
Ця метрика породжує топологію на U індуковану від X. Дійсно згідно нерівності трикутника і тому функція є неперервною. Тому послідовність збігається до x у метриці d тоді і тільки тоді, коли вона збігається до x у метриці Тому метрика породжує індуковану топологію на U.
Для доведення повноти метрики, нехай є фундаментальною послідовністю для Тоді вона також є фундаментальною для d і тому збігається до точки Точка x належить U в іншому випадку було б і звідси що суперечить фундаментальності для Як наслідок збігається до x у метриці що завершує доведення повноти цієї метрики.
Нехай позначають відповідні польські простори, — їх щільні зліченні підмножини, а — деякі повні метрики на просторах. Можна припустити, що для всіх цих метрик (в іншому випадку можна розглянути повні метрики що породжують ті ж топології). Диз'юнктне об'єднання є зліченною множиною, що є цільною у диз'юнктному об'єднанні польських просторів. Метрика задана як якщо належать одному і в іншому випадку, є повною метрикою на диз'юнктному об'єднанні , що завершує доведення
  • Будь-яка G-дельта-підмножина польського простору є польським простором.
    Нехай де є відкритими підмножинами польського простору Тоді всі і їх добуток є польськими просторами. Перетин діагоналі із підпростором є замкнутою підмножиною у , а тому польським простором. До того ж є гомеоморфним через відображення, що зіставляє елементу послідовність у всі члени якої є рівними
  • Навпаки, якщо підмножина польського простору є польським простором, то вона є G-дельта-множиною.
  • Топологічний простір є польським простором тоді і тільки тоді коли він є гомеоморфним G-дельта-підмножині кубу Гільберта
  • Прямий добуток зліченної кількості польських просторів є польським простором.
Нехай позначають відповідні польські простори, а — деякі повні метрики на просторах для яких Якщо — точки добутку просторів із координатами і відповідно, то є метрикою, що породжує топологію добутку і добуток просторів є повним метричним простором із цією метрикою.
Для доведення сепарабельності спершу слід зазначити, що як і вище всі задовольняють другу аксіому зліченності і тому можна обрати зліченну бази топології для всіх Тоді множини виду де N є натуральним числом і всі утворюють базу добутку. Тобто добуток топологій задовольняє другу аксіому зліченності і тому є сепарабельним простором.

Література

[ред. | ред. код]
  • D. J. H. Garling (2018), Analysis on Polish Spaces and an Introduction to Optimal Transportation, London Mathematical Society Student Texts, т. 89, Cambridge University Press, ISBN 978-1-108-42157-7