Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
В математиці, послідовностями Люка називають сімейство пар лінійних рекурентних послідовностей другого порядку, вперше розглянутих Едуардом Люка.
Послідовності Люка являють собою пари послідовностей
и
, що задовольняють одному і тому ж рекурентному співвідношенню з коефіцієнтами P і Q:
![{\displaystyle U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q)-Q\cdot U_{n}(P,Q),\,n\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0426e4e10eb9a84c921ce40fcb1f31d130d746c)
![{\displaystyle V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q)-Q\cdot V_{n}(P,Q),\,n\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1538f236083e98b63ed0f800e11df5bac99a73d0)
Деякі послідовності Люка носять власні імена:
- числа Фібоначчі
- числа Люка
- числа Пелля
- числа Пелля-Люка
- числа Мерсенна
- числа Якобсталя
Характеристичним многочленом рекуретного співвідношення послідовностей Люка
та
є:
![{\displaystyle x^{2}-P\cdot x+Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0797f8567e44b741a84fee2dfc8451f088af269a)
Його дискримінант
вважається не рівним нулю. Корені характеристичного многочлена
и ![{\displaystyle \beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d41c3848e36f4bddd71bc48b26c97b74b40cc319)
можна використовувати для отримання явних формул:
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\sqrt {D}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7de63a8e8257b330707ad986660c9347474c16)
та
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}.~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a2b00306a344ff47438c40bbbb7a7eb22462ce)
Звичайні генератриси (твірні функції) для послідовностей Люка в загальному випадку мають вигляд:
![{\displaystyle \sum _{n\geq 0}U_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {z}{1-Pz+Qz^{2}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5225d218e300f47926bb01dd2cc16852664b27f)
![{\displaystyle \sum _{n\geq 0}V_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {2-Pz}{1-Pz+Qz^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68704966d35020994e6e530da6c091039bb2f578)