Потенціальне векторне поле

Потенціальне ве́кторне по́ле, у математиці — векторне поле, яке можна представити як градієнт деякої скалярної функції координат (потенціалу). Необхідною і достатньою умовою потенційності векторного поля є рівність нулю ротора поля.

У фізиці, що має справу з силовими полями, математичну умову потенційності силового поля можна представити як вимогу рівності нулю роботи при переміщенні частинки, на яку діє поле, по замкнутому контуру. Як потенціал поля в цьому випадку можна вибрати роботу з переміщення пробної частинки з деякої довільно вибраної початкової точки в задану точку (за означенням, ця робота не залежить від шляху переміщення). Наприклад, потенційними є статичне електричне поле, а також гравітаційне поле в ньютоновій теорії гравітації.

---

Нехай у $n$-вимірному многовиді (можна навіть з ненульовою внутрішньою кривиною) задана система координат $u^{1},u^{2},\dots u^{n}$ і потенціальне векторне поле $\mathbf {a}$ з коваріантними координатами $a_{i}$, яке представляється градієнтом скалярного потенціалу $\phi =\phi (u^{1},u^{2},\dots u^{n})$:

$(1)\qquad a_{i}=\nabla _{i}\phi ={\partial \phi \over \partial u^{i}}$

Покажемо, що необхідною і достатньою умовою потенційності є рівність нулю ротора поля:

$(2)\qquad ({\text{rot}}\,\mathbf {a} )_{ij}=\nabla _{i}a_{j}-\nabla _{j}a_{i}=0$

Необхідність

Якщо поле $\mathbf {a}$ потенціальне, тобто виконується рівність (1), то при підстановці (1) в (2) одержуємо:

$(2)\qquad ({\text{rot}}\,\mathbf {a} )_{ij}=(\partial _{i}a_{j}-\Gamma _{ij}^{k}a_{k})-(\partial _{j}a_{i}-\Gamma _{ji}^{k}a_{k})=\partial _{i}a_{j}-\partial _{j}a_{i}={\partial ^{2}\phi \over \partial u^{i}\partial u^{j}}-{\partial ^{2}\phi \over \partial u^{j}\partial u^{i}}$

Але остання різниця дорівнює нулю в силу рівності мішаних похідних.

Достатність

Нехай тепер у нас задано таке векторне поле, що його ротор скрізь дорівнює нулю, тобто справедлива рівність (2). Спробуємо побудувати для цього векторного поля такий скаляр $\phi$, щоб виконувалась рівність (1).

Почнемо з розгляду властивості криволінійних інтегралів. Нехай ми маємо у многовиді криву $L$, яка сполучає дві фіксовані точки $P$ і $Q$. Криволінійний інтеграл $\Phi$ є функціоналом від кривої $L$:

$(3)\qquad \Phi =\Phi (L)=\int _{L}a_{i}du^{i}$

Обчислення варіації цього функціонала, проведені в статті Теорема Стокса дають:

$(4)\qquad \delta \Phi =\int \sum _{i<j}({\text{rot}}\,\mathbf {a} )_{ji}\,d\sigma ^{ij}=0$

Оскільки ротор за умовою скрізь дорівнює нулю, то і варіація функціонала (3) теж дорівнює нулю — отже цей функціонал є константою, яка на залежить від кривої (при фіксованих кінцях кривої $P$ і $Q$). Отже криволінійний інтеграл (3) є просто функцією від двох точок — кінців кривої $L$:

$(5)\qquad \Phi =\Phi (P,Q)$

Зафіксуємо одну із точок многовиду, нехай для визначеності, це буде початок системи координат $O$, тоді ми матимемо таке скалярне поле:

$(6)\qquad \phi =\phi (P)=\Phi (O,P)$

Нам тепер треба лише показати, що градієнт цього поля дорівнює $\mathbf {a}$.
Розглянемо дві близькі точки $P$ і ${\tilde {P}}$. Проведемо з початку координат криву $L$ до точки $P$, а потім продовжимо цю криву коротким відрізком $\Delta L$, що іде від точки $P$ до точки $P'$. Продовжена крива ${\tilde {L}}=L+\Delta L$ сполучає початок координат з точкою ${\tilde {P}}$. Отже:

$(7)\qquad \phi ({\tilde {P}})=\Phi (O,P)+\Phi (P,{\tilde {P}})=\phi (P)+\int _{\Delta L}a_{i}du^{i}$

і ми можемо записати приріст функції $\phi$ через інтеграл по відрізку:

$(8)\qquad \Delta \phi =\int _{\Delta L}\sum _{i=1}^{n}a_{i}du^{i}$

Розглянемо координати точки $P=(u^{1},u^{2},\dots u^{n})$. Нехай точка ${\tilde {P}}$ відрізняється від неї лише однією (хай першою) координатою ${\tilde {P}}=(u^{1}+\Delta u^{1},u^{2},\dots u^{n})$, а решта координат зафіксовані. Тоді в інтегралі (8) (по відрізку вздовж першої координати) буде відмінний від нуля лише диференціал першої координати $du^{1}$ і ми одержимо простий визначений інтеграл

$(9)\qquad \Delta \phi =\int _{u^{1}}^{u^{1}+\Delta u^{1}}a_{1}du^{1}\approx a_{1}\Delta u^{1}$

Поділивши асимптотичну рівність (9) на $\Delta u^{1}$ і переходячи до границі, маємо:

$(10)\qquad {\partial \phi \over \partial u^{1}}=a_{1}$

і аналогічно для решти координат. Формулу (1) доведено.

Джерела

• А. Д. Тевяшев, О. Г. Литвин, Г. М. Кривошеєва, Л. В. Обухова, О. Г. Середа [Вища математика у прикладах та задачах.] Частина 2. Інтегральне числення функцій однієї змінної. Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних. Стор. 263. Харків:2002.
• Академія наук Української РСР. Фізико-математичні та технічні науки. Серія А. Випуски 1—6. Стор. 49-50. Київ:«Наукова думка», 1990.