Похідна зображення

Похідні́ зобра́ження (англ. image derivatives) можливо обчислювати за допомогою маленьких згорткових фільтрів розміром 2 × 2 чи 3 × 3, таких як оператори Лапласа, Собеля, Робертса чи Прюітт. Проте більша маска загалом даватиме краще наближення похідної, й прикладами таких фільтрів є гауссові похідні та фільтри Ґабора. Іноді потрібно видаляти високочастотний шум, і це може бути включено до фільтра, так, що гауссове ядро діятиме як смуговий фільтр. Застосування фільтрів Ґабора в обробці зображень було вмотивовано деякою їхньою подібністю до сприйняття в зоровій системі людини.

Це піксельне значення обчислюється як згортка

$p'_{u}=\mathbf {d} \ast G$

де $\mathbf {d}$ — ядро похідної, $G$ — значення пікселів в області зображення, а $\ast$ — оператор, який виконує згортку.

Похідні Собеля

Ядра похідних, відомі як оператор Собеля, визначають наступним чином, для напрямів $u$ та $v$ відповідно:

$p'_{u}={\begin{bmatrix}+1&+2&+1\\0&0&0\\-1&-2&-1\end{bmatrix}}*\mathbf {G} \quad$ і $\quad p'_{v}={\begin{bmatrix}+1&0&-1\\+2&0&-2\\+1&0&-1\end{bmatrix}}*\mathbf {G}$

де $*$ тут позначує операцію двовимірної згортки.

Цей оператор роздільний, і його може бути розкладено як добуток ядер інтерполювання та диференціювання, так, що $p'_{v}$, наприклад, можливо записати як

${\begin{bmatrix}+1&0&-1\\+2&0&-2\\+1&0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}+1&0&-1\end{bmatrix}}$

Похідні Фарида та Сімончеллі

Фарид і Сімончеллі пропонують використовувати пару ядер, одне для інтерполювання, а інше для диференціювання (порівняйте з Собелем вище). Ці ядра, фіксованих розмірів 5 x 5 та 7 x 7, оптимізовано таким чином, що перетворення Фур'є наближує їхній правильний зв'язок із похідною.

У коді Matlab так званим 5-вентильним фільтром є

k  = [0.030320  0.249724  0.439911  0.249724  0.030320];
d  = [0.104550  0.292315  0.000000 -0.292315 -0.104550];
d2 = [0.232905  0.002668 -0.471147  0.002668  0.232905];

А 7-вентильним фільтром є

k  = [ 0.004711  0.069321  0.245410  0.361117  0.245410  0.069321  0.004711];
d  = [ 0.018708  0.125376  0.193091  0.000000 -0.193091 -0.125376 -0.018708];
d2 = [ 0.055336  0.137778 -0.056554 -0.273118 -0.056554  0.137778  0.055336];

Як приклад, похідні першого порядку можливо обчислювати наступним, з використанням Matlab, щоби виконувати згортку

Iu = conv2(d, k, im, 'same');  % похідна по вертикалі (wrt Y)
Iv = conv2(k, d, im, 'same');  % похідна по горизонталі (wrt X)

Слід зазначити, що Фарид і Сімончеллі вивели коефіцієнти першої похідної, точніші порівняно з наданими вище. Проте останні узгоджуються з інтерполятором другої похідної, й відтак їх краще використовувати, якщо шукають як першу, так і другу похідні. У протилежному випадку, коли потрібна лише перша похідна, слід використовувати оптимальні коефіцієнти першої похідної; більше деталей можливо знайти в їхній статті.

Похідні Гаста

Фільтри похідних на основі довільних кубічних сплайнів було запропоновано Гастом. Він показав, як можливо правильніше обчислювати похідні як першого, так і другого порядків, за допомогою кубічних або тригонометричних сплайнів. Щоби похідна обчислювалася для центрального пікселя, ефективним фільтрам похідних потрібно мати непарну довжину. Проте будь-який кубічний фільтр допасовується до 4 ви́біркових точок, даючи центр між пікселями. Це розв'язується за допомогою підходу подвійного фільтрування, що дає фільтри розміром 7 x 7. Ідея в тому, щоби спершу фільтрувати інтерполяцією, отримуючи таким чином інтерпольовані значення між пікселями, після чого повторювати процедуру з використанням похідних фільтрів, де центральне значення тепер припадає на центри пікселів. Це легко довести за допомогою асоціативного закону для згортки

$p'_{u}=\mathbf {d} \ast (\mathbf {k} \ast G)=(\mathbf {d} \ast \mathbf {k} )\ast G$

Отже, ядром згортки для обчислення похідної $\mathbf {k_{d}}$ з використанням інтерполювального ядра $\mathbf {k}$ та ядра похідної $\mathbf {d}$ стає

$\mathbf {k_{d}} =\mathbf {d} \ast \mathbf {k}$

Також майте на увазі, що згортка комутативна, тому порядок цих двох ядер неважливий, і також можливо вставити похідну другого порядку, як і ядро похідної першого порядку. Ці ядра виводять з того факту, що будь-яку сплайнову поверхню можливо допасувати над квадратною областю пікселів, порівняйте з поверхнями Безьє. Гаст доводить, що таку поверхню можливо виконувати як роздільну згортку

$p(u,v)=\mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} =M^{T}\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}M\ast G$

де $M$ — матриця сплайнової основи, а $\mathbf {u}$ та $\mathbf {v}$ — вектори, що містять змінні $u$ та $v$, як-от

$\mathbf {u} =[u^{3},u^{2},u,1]^{T}$

$\mathbf {v} =[v^{3},v^{2},v,1]^{T}$

Тепер можливо встановити ядра згортки в

$\mathbf {k} =\mathbf {u} ^{T}M=(M^{T}\mathbf {v} )^{T}$

$\mathbf {d} ={\frac {\partial \mathbf {u} ^{T}}{\partial u}}M=\left(M^{T}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial v}}\right)^{T}$

$\mathbf {d^{2}} ={\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} ^{T}}{\partial u^{2}}}M=\left(M^{T}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {v} }{\partial v^{2}}}\right)^{T}$

Похідні першого порядку в центральному пікселі відтак обчислюють як

$D_{u}={\frac {\partial \mathbf {u} ^{T}}{\partial u}}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}\mathbf {v} =\mathbf {d} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {k} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G$

і

$D_{v}=\mathbf {u} ^{T}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial v}}=\mathbf {k} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {d} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G$

Так само, ядрами похідної другого порядку є

$D_{u}^{2}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} ^{T}}{\partial u^{2}}}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}\mathbf {v} =\mathbf {d^{2}} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {k} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G$

і

$D_{v}^{2}=\mathbf {u} ^{T}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {v} }{\partial v^{2}}}=\mathbf {k} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {d^{2}} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G$

Кубічносплайновий фільтр оцінюють у його центрі $u=v=0.5$, й відтак

$\mathbf {u} =\mathbf {v} =[(0.5)^{3},(0.5)^{2},0.5,1]^{T}=[0.125,0.25,0.5,1]^{T}$

Подібним чином, похідними першого порядку стають

${\frac {\partial \mathbf {u} (0.5)}{\partial u}}={\frac {\partial \mathbf {v} (0.5)}{\partial v}}=[3\cdot (0.5)^{2},2\cdot (0.5),1,0]^{T}=[0.75,1,1,0]^{T}$

І подібним же чином похідними другого порядку є

${\frac {d^{2}\mathbf {u} (0.5)}{u^{2}}}={\frac {d^{2}\mathbf {v} (0.5)}{dv^{2}}}=[6\cdot (0.5),2,0,0]^{T}=[3,2,0,0]^{T}$

Для обчислення похідних зображення за допомогою наведених вище рівнянь можливо застосовувати й використовувати будь-який кубічний фільтр, як-от Безьє, Ерміта, чи B-сплайни.

У наведеному нижче прикладі мовою Matlab для обчислення похідних використано сплайн Кетмелла — Рома

M = [1,-3,3,-1; -1,4,-5,2; 0,1,0,-1; 0,0,2,0] * 0.5;
u = [0.125;0.25;0.5;1];
up = [0.75;1;1;0];
d = up'*M;
k = u'*M;
Iu = conv2(conv(d,k), conv(k,k), im,'same');  % вертикальна похідна (wrt Y)
Iv = conv2(conv(k,k), conv(d,k), im,'same');  % горизонтальна похідна (wrt X)

Інші підходи

Для обчислення похідних можливо використовувати керовані фільтри. Крім того, Савицький та Голей пропонують підхід поліномного згладжування методом найменших квадратів, який можливо використовувати для обчислення похідних, а Луо зі співавт. обговорюють цей підхід докладніше. Шарр показує, як створювати фільтри похідних шляхом мінімізації похибки в області Фур'є, а Єне зі співавт. докладніше обговорюють принципи проєктування фільтрів, включно з фільтрами похідних.

Посилання

• derivative5.m Фарид і Сімончеллі: 5-вентильні перша та друга дискретні похідні.
• derivative7.m Фарид і Сімончеллі: 7-вентильні перша та друга дискретні похідні
• kernel.m Гаст: 1-а та 2-га дискретні похідні для кубічних сплайнів, сплайнів Кетмелла — Рома, сплайнів Безьє, B-сплайнів, та тригонометричних сплайнів.