Квазігрупа (алгебра)

Кубічна ґратка алгебричних структур
від магми до групи.

Квазігрупа — алгебрична структура в абстрактній алгебрі, що подібна до групи тим, що в ній завжди можливе ділення (інших властивостей групи квазігрупа немає).

Квазігрупа з одиницею називається лупа (англ. loop — «петля»).

Визначення

Є два еквівалентні визначення:

Квазігрупа (Q, *) — це множина Q з бінарною операцією * : Q × Q → Q (тобто магма), такою що для довільних a, b ∈ Q існують і єдині x, y ∈ Q, що:

a * x = b,

y * a = b.

Розв'язки цих рівнянь записують так:

x = a \ b,

y = b / a.

Операції \ та / називають лівим та правим діленням. Якщо визначена тільки одна з операцій, то таку структуру називають ліва чи права квазігрупа, відповідно.

Квазігрупа (Q, *, \, /) — універсальна алгебра сигнатури (2,2,2), що задовільняє тотожності:

y = x * (x \ y),

y = x \ (x * y),

y = (y / x) * x,

y = (y * x) / x.

Якщо (Q, *) є квазігрупою за першим визначенням, тоді (Q, *, \, /) є еквівалентною квазігрупою в розумінні універсальної алгебри.

Лупа — квазігрупа з одиничним елементом e, тобто, таким що:

x*e = x = e*x .

Приклади

• Група є частковим випадком квазігрупи, а саме — асоціативною квазігрупою з одиницею.
• Цілі числа $\mathbb {Z}$ з операцією віднімання (−) є квазігрупою.
• Ненульові раціональні числа $\mathbb {Q} ^{*}$ (чи дійсні числа $\mathbb {R} ^{*}$) з операцією ділення (÷) є квазігрупою.
• Раціональні числа $\mathbb {Q}$ (чи дійсні числа $\mathbb {R}$) з операцією x * y = (x + y) / 2 (середнє арифметичне) є ідемпотентною, комутативною квазігрупою.
• Множина {±1, ±i, ±j, ±k} де ii = jj = kk = +1 та всі інші добутки визначені як в кватерніонах, є лупою.
• Октави є неасоціативною лупою по множенню.

Властивості

Латинські квадрати

• Таблиця множення скінченної квазігрупи утворює латинський квадрат. І навпаки, довільний латинський квадрат може бути вибраний за таблицю множення, щоб утворити квазігрупу.

Властивість скорочення

• Ліва квазігрупа є скорочуваною зліва якщо ∀a, b,c ∈ Q: з (ab = ac) слідує (b = c).
• Права квазігрупа є скорочуваною справа якщо ∀a, b,c ∈ Q: з (ba = ca) слідує (b = c).
• Квазігрупа є скорочуваною зліва та справа. Кажуть — має властивість скорочення.

Властивість обернення

Одиничний елемент лупи є єдиним, тому для кожного елемента лупи існує єдиний лівий та правий обернений елемент:

a ^L = e / a,      a ^L a = e,

a ^R = a \ e,      a a ^R = e.

Примітка: використали праве та ліве ділення.

• Лупа має обернення зліва якщо задовільняє тотожність x^L (xy)=y, чи еквівалентну x\y=x^L y.
• Лупа має обернення справа якщо задовільняє тотожність (yx)x^R=y, чи еквівалентну y/x=y x^R.
• Лупа має антиафтоморфне обернення якщо задовільняє тотожність (xy)^L = y^L x^L, чи еквівалентну (xy)^R = y^R x^R.
• Лупа має слабе обернення якщо задовільняє тотожність (xy)^L x=y^L, чи еквівалентну x(yx)^R=y^R.

Якщо лупа задовільняє дві з вищеперечислених властивостей, то вона задовільняє всі чотири властивості і кажуть — має властивість обернення. І тоді x^L = x^R для всіх елементів.

Морфізми

Гомоморфізм квазігруп чи луп це відображення f: Q → P таке що f(xy) = f(x)f(y). Воно зберігає ліве та праве ділення а також одиницю (якщо існує).

Гомотопія та ізотопія

• Гомотопія квазігруп з Q в P є трійка (α, β, γ) відображень з Q в P такі, що

$\forall x,y\in Q:\alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy).$

Гомоморфізм квазігруп є гомотопією, де всі відображення збігаються.

• Ізотопія це гомотопія, в якій всі три відображення (α, β, γ) є бієктивними.
• Автотопія — це ізотопія квазігрупи в себе.
• Довільна квазігрупа ізотопна лупі. Якщо лупа ізотопна групі, тоді вона є групою. Хоча, квазігрупа, що ізотопна групі, може не бути групою.

Література

• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)
• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)
• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
• В.Д. Белоусов. Основы теории квазигрупп и луп. — Москва : Наука, 1967.