Призматичний однорідний многогранник
Призмати́чний однорі́дний многогранник — однорідний многогранник з діедричною симетрією[en]. Вони утворюють два нескінченних сімейства: однорідні призми та однорідні антипризми. Всі вони мають вершини на двох паралельних площинах, а тому всі є призматоїдами.
Оскільки вони є ізогональними (вершинно-транзитивними), їхнє розташування вершин[en] однозначно відповідає групам симетрії .
Різниця між призматичними та антипризматичними групами симетрії полягає в тому, що Dph має ребра, які зв'язують вершини на двох площинах, перпендикулярні цим площинам, що задає площину симетрії, паралельну многокутникам, тоді як Dpd має ребра, що схрещуються, що дає обертову симетрію. Кожне тіло має p площин відбитків, які містять p-кратні осі многокутників.
Група симетрії Dph містить центральну симетрію тоді й лише тоді, коли p парне, тоді як Dpd містить центральну симетрію тоді й лише тоді, коли p непарне.
Існують:
- Призми для кожного раціонального p/q > 2 з групою симетрії Dph;
- Антипризми для кожного раціонального p/q > 3/2 з групою симетрії Dpd, якщо q непарне, і Dph, якщо парне.
Якщо p/q є цілим числом, тобто. q = 1, призма або антипризма опукла. (Дріб завжди вважається нескоротним.)
Антипризма з p/q < 2 є самоперетинною або виродженою, її вершинна фігура схожа на краватку-метелика. З p/q ≤ 3/2 однорідних антипризм не існує, оскільки їхня вершинна фігура порушила б нерівність трикутника.
Зауваження: тетраедр, куб і октаедр перераховані нижче як такі, що мають діедричну симетрію (як діагональна антипризма, квадратна призма і трикутна антипризма відповідно), хоча, при однорідному розфарбовуванні, тетраедр також має симетрію тетраедричну, а куб і октаедр мають октаедричну.
| Група симетрії | Опуклий | Зірчасті форми | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| d2d [2+,2] (2*2) |
 3.3.3 | |||||||
| d3h [2,3] (*223) |
 3.4.4 | |||||||
| d3d [2+,3] (2*3) |
 3.3.3.3 | |||||||
| d4h [2,4] (*224) |
 4.4.4 | |||||||
| d4d [2+,4] (2*4) |
 3.3.3.4 | |||||||
| d5h [2,5] (*225) |
 4.4.5 |
 4.4.5/2 |
3.3.3.5/2[en] | |||||
| d5d [2+,5] (2*5) |
 3.3.3.5 |
 3.3.3.5/3[en] | ||||||
| d6h [2,6] (*226) |
 4.4.6 | |||||||
| d6d [2+,6] (2*6) |
 3.3.3.6 | |||||||
| d7h [2,7] (*227) |
 4.4.7[en] |
 4.4.7/2 |
 4.4.7/3 |
 3.3.3.7/2 |
 3.3.3.7/4 | |||
| d7d [2+,7] (2*7) |
 3.3.3.7[en] |
 3.3.3.7/3 | ||||||
| d8h [2,8] (*228) |
 4.4.8 |
 4.4.8/3[en] | ||||||
| d8d [2+,8] (2*8) |
 3.3.3.8 |
 3.3.3.8/3 |
 3.3.3.8/5[en] | |||||
| d9h [2,9] (*229) |
 4.4.9[en] |
 4.4.9/2 |
 4.4.9/4 |
 3.3.3.9/2 |
 3.3.3.9/4 | |||
| d9d [2+,9] (2*9) |
 3.3.3.9[en] |
 3.3.3.9/5 | ||||||
| d10h [2,10] (*2.2.10) |
 4.4.10 |
 4.4.10/3[en] | ||||||
| d10d [2+,10] (2*10) |
 3.3.3.10[en] |
 3.3.3.10/3[en] | ||||||
| d11h [2,11] (*2.2.11) |
 4.4.11[en] |
 4.4.11/2 |
 4.4.11/3 |
 4.4.11/4 |
 4.4.11/5 |
 3.3.3.11/2 |
 3.3.3.11/4 |
 3.3.3.11/6 |
| d11d [2+,11] (2*11) |
 3.3.3.11 |
 3.3.3.11/3 |
 3.3.3.11/5 |
 3.3.3.11/7 | ||||
| d12h [2,12] (*2.2.12) |
 4.4.12[en] |
 4.4.12/5 | ||||||
| d12d [2+,12] (2*12) |
 3.3.3.12 |
 3.3.3.12/5 |
 3.3.3.12/7 | |||||
| … | ||||||||
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вип. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — DOI:.
- P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom : Cambridge University Press, 1997. — С. 175. — ISBN 0-521-55432-2.
- John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79, вип. 3. — С. 447–457. — DOI:..