Проблема Гурвіца

Проблема Гурвіца — проблема в математиці (названа на честь Адольфа Гурвіца), пов'язана зі знаходженнам мультиплікативних відношень між квадратичними формами.

Опис

Існує рівність розмірності 2 (тотожність Брамагупти)

(x^{2}+y^{2})(u^{2}+v^{2})=(xu-yv)^{2}+(xv+yu)^{2}

Ще існують тотожність чотирьох квадратів, тотожність восьми квадратів.

Їх можна використовувати для правила множення норм комплексних числе $\mathbb {C}$ , кватерніонів ( $\mathbb {H}$ ), октоніонів ( $\mathbb {O}$ ) відповідно.

\forall x,y\in A\quad \|x\|\|y\|=\|xy\|

.

Проблема Гурвіца: для поля $K$ знайти загальне відношення у формі

(x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\cdots +y_{s}^{2})=(z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2})\ ,

де $z$ — білінійна форма від $x$ та $y$ .

Якщо така тотожність існує, трійки $\;(r,s,n)\;$ називають допустимими для $K$ ,. Тривіальними допустимими є трійки $\;(r,s,rs)\;.$ Проблема є не цікавою коли $K$ має характеристику 2, оскільки над такими полями сума двох квадратів є квадратом.

Теорема Гурвіца — Радона

1898 року Гурвіц сформулював проблему для випадку $\;r=s=n\;$ і показав, що для поля $\mathbb {C}$ , допустимими є лише $\,(n,n,n)\,$ де $\;n\in \{1,2,4,8\}\;.$ Його доведення можна розширити для довільного поля з характеристикою, відмінною від 2.

Проблема Гурвіца — Радона полягає у знаходженні трійок виду $\,(r,n,n)\;.$ Очевидно, $\;(1,n,n)\;$ є допустимими. Теорема стверджує, що допустимими є $\;\left(\rho (n),n,n\right)\;$ , де $\,\rho (n)\,$ визначена для $\;n=2^{u}v\;,$ $v$ непарне, $\;u=4a+b\;,$ із $\;0\leq b\leq 3\;,$ та $\;\rho (n)=8a+2^{b}\;.$

Іншими допустимими трійками є $(3,5,7),(10,10,16).$

Див. також