Простий ідеал

В абстрактній алгебрі простий ідеал — ідеал кільця, властивості якого схожі з властивостями простих чисел. Окрім теорії кілець поняття також часто використовується у алгебраїчній геометрії, де прості ідеали многочленів визначають афінні многовиди.

Узагальненням поняття простого ідеала є примарний ідеал.

Визначення

Ідеал $\ P$ кільця $\ R$ називається простим, якщо $P\subsetneq R$ і якщо з того, що добуток $\ AB$ двох ідеалів $A,B\subset R$ міститься в $\ P$ , то принаймні один з ідеалів $\ A$ або $\ B$ міститься в $\ P$ .

У загальному некомутативному кільці це еквівалентно наступному означенню:

Ідеал називається простим якщо виконуються умови:

якщо $a,b\in R$ такі, що для всіх $r\in R$ , їх добуток $arb\,$ належить $P\,$ , тоді $a\in P$ або $b\in P$ .
$P\,$ не рівне кільцю $R\,$ .

У комутативному кільці ідеал називається простим, якщо для деяких двох елементів $a,b\in A$ з того, що $ab\in {\mathfrak {a}}$ , випливає що $a\in {\mathfrak {a}}$ або $b\in {\mathfrak {a}}$ . Якщо ця властивість виконується для некомутативного кільця його називають цілком простим.

Замітка. Іноді термін простий ідеал використовується лише для комутативних кілець. У некомутативному випадку при цьому використовується термін первинний ідеал.

Властивості

Прообраз простого ідеалу при гомоморфізмі комутативних кілець є простим ідеалом.
Ідеал ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}$ у комутативному кільці є простим, якщо елементи доповнення до нього утворюють мультиплікативну систему.
- Підмножина кільця називається мультиплікативною системою, якщо вона замкнута відносно операції множення.
Теорема віддільності: Нехай в комутативному кільці $A$ $A$ з одиницею заданий ідеал ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}$ , що не перетинається з мультиплікативною системою $S_{0}$ $S_{0}$ . Тоді існує простий ідеал ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ , що містить ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}$ і не перетинається з системою $S_{0}$ $S_{0}$ .
- Доведення використовує один з варіантів леми Цорна. Множина всіх ідеалів кільця A, що містять ${\mathfrak {a}}$ і не перетинаються з системою $S_{0}$ є непорожньою (вона містить ідеал ${\mathfrak {a}}$ ), і відношення теоретико-множинного включення задає на ньому індуктивний порядок. За лемою Цорна ця множина містить максимальний елемент — деякий ідеал ${\mathfrak {p}}$ . Припущення про його непростоту приводить до суперечності з його максимальністю.
Теорема про радикал: Перетин всіх простих ідеалів, що містять ідеал ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}$ , збігається з радикалом ідеалу ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}$ (тобто множиною ${\sqrt {\mathfrak {a}}}=\{f\in A:\,\exists n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in {\mathfrak {a}}\}$ ${\sqrt {\mathfrak {a}}}=\{f\in A:\,\exists n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in {\mathfrak {a}}\}$ )
- Нехай ${\mathfrak {p}}$ — простий ідеал, що містить ${\mathfrak {a}}$ . Якщо елемент f належить радикалу ${\sqrt {\mathfrak {a}}}$ , значить деякий його степінь належить ідеалу ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}$ , відповідно f не може належати доповненню до ${\mathfrak {p}}$ , оскільки це доповнення — мультиплікативна система (якщо воно містить f, то містить і всі його степені). Значить f необхідно належить всім простим ідеалам, що містять ідеал ${\mathfrak {a}}$ .
  Навпаки: нехай f не належить радикалу ${\sqrt {\mathfrak {a}}}$ . Тоді множина всіх його степенів — мультиплікативна система, що не перетинає ${\mathfrak {a}}$ . За попередньою теоремою існує простий ідеал, що містить ${\mathfrak {a}}$ і що не містить жоден із степенів елементу f. Значить f не належить усім простим ідеалам, що містять ідеал ${\mathfrak {a}}$ .

Приклади

Нехай R — кільце C[X, Y] многочленів від двох змінних, з комплексними коефіцієнтами. Тоді ідеал породжений многочленом Y² − X³ − X − 1 є простим.
У довільному кільці з одиницею довільний максимальний ідеал є простим.

Нехай

{\mathfrak {m}}

максимальний ідеал кільця

R

і припустимо

R

має ідеали

{\mathfrak {a}}

і

{\mathfrak {b}}

і

{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {m}}

, але

{\mathfrak {a}}\nsubseteq {\mathfrak {m}}

. Оскільки

{\mathfrak {m}}

є максимальним, маємо

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}=R

. Тоді,

{\mathfrak {b}}=R{\mathfrak {b}}=({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}){\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {m}}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {m}}+{\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}.

Тому

{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}

або

{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {m}}

, тобто ідеал є простим.

Література

Українською

(укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

Посилання

Characterization of prime ideals на сайті PlanetMath.