Проєктивний конус

Проєктивний конус (або просто конус) у проєктивній геометрії — об'єднання всіх прямих, які перетинають проєктивний підпростір $R$ (вершину конуса) і довільну підмножину $A$ (основу) деякого іншого підпростору $S$ , що не перетинає $R$ .

У випадку, коли $R$ — одна точка, $S$ — площина, $A$ — конічний перетин на $S$ , проєктивний конус є конічною поверхнею; звідси й назва.

Визначення

Нехай X — проєктивний простір над деяким полем $K$ , а $R$ , $S$ — неперетинні підпростори X. Нехай $A$ — довільна підмножина $S$ . Конус $RA$ з вершиною $R$ і основою $A$ визначимо так:

Якщо $A$ порожня, $RA=A$ .
Якщо $A$ не порожня, $RA$ складається з усіх точок прямих, що з'єднують точку в $R$ і точку в $A$ .

Властивості

Оскільки $R$ і $S$ не перетинаються, з лінійної алгебри та визначення проєктивного простору можна зробити висновок, що кожна точка на $RA$ , яка не є в $R$ або $A$ , міститься на рівно одній прямій, що з'єднує точку в $R$ і точку в $A$ .
(RA) $\cap$ S = A
Якщо K — скінченне поле порядку q, то $|RA|$ = $q^{r+1}$ $|A|$ + ${\frac {q^{r+1}-1}{q-1}}$ , де $r=dim(R)$ .

Див. також