Підкільце

Підкільце кільця $K$ — це пара $(R,i)$, де $R$ — кільце, а $i:R\hookrightarrow K$ — мономорфізм (вкладення) кілець.

Таке визначення узгоджується із загальними поняттями:

• підструктури в універсальній алгебрі та
• підоб'єкта в теорії категорій.

У класичному визначенні підкільце кільця $(K,+,*)$ розглядається як підмножина $R\subset K$, замкнута відносно операцій $+$ і $*$ з основного кільця. Це визначення рівносильне наведеному вище, проте в сучасному визначенні підкреслюється внутрішня структура підкілець і зв'язок між різними кільцями. Воно також легко узагальнюється на випадок довільних математичних об'єктів (алгебричних, геометричних тощо). Різниця між визначеннями аналогічна різниці між теоретико-множинним і теоретико-категорійним поглядом на математику.

Зокрема, різні визначення кільця дають два основні змістовні поняття підкільця. У категорії (всіх) кілець ${\mathcal {R}}ing$ підкільце, як у класичному визначенні, можна розглядати як довільну підмножину кільця, замкнуту за додаванням і множенням. Цікавіша ситуація в категорії кілець з одиницею ${\mathcal {R}}ing_{1}$: морфізми (гомоморфізми) $f:R\to K$ в цій категорії мають відображати одиницю кільця $R$ в одиницю кільця $K$ (аналогічно гомоморфізму напівгруп з одиницею), тому підкільце $R$ кільця $K$ також має містити одиницю: $1_{K}\in R$ .

Категорія ${\mathcal {R}}ing$ влаштована значно краще, ніж ${\mathcal {R}}ing_{1}$. Наприклад, ядро будь-якого гомоморфізму також є об'єктом цієї категорії. Тому, кажучи про підкільця, зазвичай мають на увазі підкільце в ${\mathcal {R}}ing$, якщо не зазначено інше.

Приклади

1. Будь-який ідеал (лівий, правий, двосторонній) замкнутий відносно додавання і множення, тому є підкільцем у ${\mathcal {R}}ing$.
2. У ${\mathcal {R}}ing_{1}$ ідеал є підкільцем тільки тоді, коли містить $1$, тому він має збігатися з усім кільцем. Тому в ${\mathcal {R}}ing_{1}$ власні ідеали не є підкільцями.
3. У ${\mathcal {R}}ing$ підкільцями в $\mathbb {Z}$ є всі головні ідеали $(n)=n\mathbb {Z}$. У ${\mathcal {R}}ing_{1}$$\mathbb {Z}$ не має власних підкілець.
4. Кільце цілих чисел $\mathbb {Z}$ є підкільцем поля дійсних чисел $\mathbb {R}$ і підкільцем кільця многочленів $\mathbb {Z} [X]$.

Див. також

• Підгрупа
• Підалгебра

Література

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)