Підпослідовність

Підпослідовністю $\left\{x_{n_{k}}\right\}$ називається послідовність, складена з елементів послідовності $\{x_{n}\}$ і в якій порядок слідування її елементів збігається з порядком слідування елементів у початковій послідовності $\{x_{n}\}$.
Іншими словами, візьмемо деяку послідовність $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, …, $x_{n}$, … . Візьмемо другу довільну строго зростаючу послідовність натуральних чисел $k_{1}<k_{2}<k_{3}<\ldots <k_{n}<\ldots$. Виберемо із послідовності $\{x_{n}\}$ елементи з номерами $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, …, $k_{n}$, … і розташуємо їх в такому ж порядку як і числа $k_{n}$, тоді отримаємо: $x_{k_{1}}$, $x_{k_{2}}$, $x_{k_{3}}$, …, $x_{k_{n}}$, … . Це і буде підпослідовність $x_{n_{k}}$ послідовності $x_{n}$.

Властивості числових підпослідовностей

• Будь-яка підпослідовність збіжної послідовності збігається до тієї ж границі.
• Множина часткових границь послідовності — замкнена.
• З будь-якої послідовності можна виділити монотонну підпослідовність.
• З обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.