Регулярна матриця Адамара

Регулярна матриця Адамара — це матриця Адамара, в якої суми за рядками і стовпцями рівні. Тоді як порядок матриці Адамара має бути 1, 2 або кратним 4, регулярні матриці Адамара задовольняють подальшим обмеженням, що порядок дорівнює повному квадрату. Лишок, що позначається E(H), матриці Адамара H порядку n визначається як сума елементів матриці H. Лишок задовольняє обмеженню $|E(H)|\leqslant n^{\tfrac {3}{2}}$ . Матриця Адамара досягає цієї межі тоді й лише тоді, коли вона регулярна.

Параметри

Якщо $n=4u^{2}$ — порядок регулярної матриці Адамара, то її лишок дорівнює $\pm 8u^{3}$ , а суми рядків та стовпців рівні $\pm 2u$ . Звідси випливає, що кожен рядок має $2u^{2}\pm u$ додатних елементів та $2u^{2}\mp u$ від'ємних. З ортогональності рядків випливає, що будь-які два різні рядки мають рівно $u^{2}\pm u$ спільних додатних елементів. Якщо H інтерпретувати як матрицю інцидентності блок-схеми, коли 1 означає суміжність, а −1 означає неінцидентність, то матриця H відповідає симетричній $2-(v,k,\lambda )$ -схемі з параметрами $(4u^{2},2u^{2}\pm u,u^{2}\pm u)$ . Схему з цими параметрами називають схемою Менона.

Побудова

Нерозв'язана проблема математики:

Які повні квадрати можуть бути порядком регулярної матриці Адамара?

(більше нерозв'язаних проблем математики)

Відомо кілька методів побудови регулярних матриць Адамара і проведено кілька вичерпних комп'ютерних пошуків для регулярних матриць Адамара з певними групами симетрії, але не відомо, чи кожен повний парний квадрат є порядком регулярної матриці Адамара. Матриці Адамара типу Буша є регулярними матрицями Адамара спеціального вигляду та пов'язані зі скінченними проєктивними площинами.

Історія та найменування

Подібно до загальних матриць Адамара, регулярні матриці Адамара названо на честь Жака Адамара. Схему Менона названо ім'ям індійського математика П. Кешава Менона^[en], а матриці Адамара типу Буша названо ім'ям Кеннета А. Буша.

Джерела

Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
The CRC Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn C.J., Dinitz J.H. (ed.). — 2nd ed. — Florida. : CRC Press, Boca Raton, 2006.
W. D. Wallis, Anne Penfold Street, Jennifer Seberry Wallis. Combinatorics: Room Squares, Sum-Free Sets, Hadamard Matrices. — Berlin : Springer-Verlag, 1972.