Розв'язок певної задачі еволюції є розв'язком подібності або самоподібним розв'язком якщо його просторова конфігурація (графік) залишається подібним собі впродовж всієї еволюції. В одному вимірі, самоподібний розв'язок має таку загальну форму:
![{\displaystyle u(x,t)=a(t)F(x/b(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f613efac594ce70cf46e36742c4c148f48309f27)
де, бажано,
і
— це безрозмі́рнісні величини.[1]
Маючи функцію
незалежні і залежні змінні можна відобразити так
або точніше
де
це гладкі функції. Тоді кажуть, що диференціальне рівняння з частинними похідними має симетрію чи перетворення симетрії якщо
це розв'язок якщо
є розв'язком. Інакше кажучі перетворення симетрії відображають розв'язок рівняння на його інший розв'язок.
Якщо ДРЧП має таке перетворення симетрії
тоді розв'язок ДРЧП у вигляді
де змінна подібності
називається самоподібним розв'язком. Приактичною перевагою ідеї самоподібних розв'язків є те, що функція, яку треба знайти,
має лише одну незалежну змінну
і зазвичай задовольняє звичайному диференціальному рівнянню. Однак, нема гарантій, що такий розв'язок існує.
Зауважимо, що самоподібний розв'язок інваріантний щодо перетворення симетрії:
![{\displaystyle u(x/L,t/L^{\beta })=f\left({\frac {x/L}{(t/L^{\beta })^{1/\beta }}}\right)=f\left({\frac {x}{t^{1/\beta }}}\right)=u(x,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d163f1b4507033da7f756d31dd5aca636429e27e)
Правильним є й зворотнє твердження: кожний розв'язок інваріантний щодо перетворення симетрії — мусить бути функцією однієї змінної
Це можна показати використовуючи ін'єктивну заміну змінних
![{\displaystyle \eta ={\frac {x}{t^{1/\beta }}},\xi =xt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed046c7e4282134cf7eaf848cf893d54456895a)
Припустимо, що ми маємо розв'язок
інваріантний щодо перетворення симетрії. Перетворення має такий вигляд
тобто
![{\displaystyle w(\eta ,\xi )=w(\eta ,\xi /L^{\beta +1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac6d0e98ef9f877da41ae69491dd9cdad94a3d2)
Диференціюємо щодо
і покладаємо
В результаті маємо:
![{\displaystyle w(\eta ,\xi )_{\xi }=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499eaa9ca49e0b54c1083bd609228c6e960607b6)
це означає, що
залежить лише від
![{\displaystyle u_{t}=Du_{xx},-\infty <x<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a0ffa53391003ada860e6307106a4a6ce598db)
Можна перевірити, що
також є розв'язком і
Отже, ми шукаємо самоподібний розв'язок у форму
де
Підставляння дає
![{\displaystyle Df''(\eta )+{\frac {\eta }{2}}f'(\eta )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f63975494b0c27170d92363691fb79dced6bdd6)
Використовуючи метод інтегрувального множника можемо отримати
![{\displaystyle f'(\eta )=Ce^{-n^{2}/4D},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5491c3cf51c95dbff4e02f69afdf843b67b2486)
і, отже,
![{\displaystyle f(\eta )=C_{1}{\mbox{erf}}(\eta /4D)+C_{2},{\mbox{erf}}(x)\equiv {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-y^{2}}dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0bf3d06d31c91badb196f01f5e03b58783e3c9)
де
це довільні сталі.