Розшарування Гопфа

Розшарування Гопфа графічно представлено як узагальнена стереографічна проєкція $S^{3}$ на $\mathbb {R} ^{3}$. Рисунок показує однаковим кольором точки на $S^{2}$ (праворуч) і відповідні їм шари-кола на стереографічній проєкції $S^{3}$ (ліворуч).

Розшарування Гопфа — приклад локально тривіального розшарування тривимірної сфери над двовимірною з шаром-колом:

$S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2}$.

Розшарування Гопфа не є тривіальним. Є також важливим прикладом головного розшарування.

Одним з найпростіших способів завдання цього розшарування є представлення тривимірної сфери $S^{3}$ як одиничної сфери в $\mathbb {C} ^{2}$, а двовимірної сфери $S^{2}$ як комплексної проєктивної прямої $\mathbb {C} P^{1}$. Тоді відображення:

$p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})$

і задає розшарування Гопфа. При цьому шарами розшарування будуть орбіти вільної дії групи $S^{1}$:

$\theta :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2})$,

де коло представлена як множина одиничних за модулем комплексних чисел:

$S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\}$.

Посилання

• Відео-демонстрація відображення Гопфа на сайті Dimensions-math, глави 7 і 8 [Архівовано 28 вересня 2018 у Wayback Machine.]
• Пояснення до демонстрації відображення Гопфа на сайті Dimensions-math [Архівовано 19 вересня 2018 у Wayback Machine.]
• Відображення Гопфа на сайті Mathworld [Архівовано 19 січня 2019 у Wayback Machine.]