Ізометрія (математика)

Ізометрія
Формула	$d_{2}\left(f(x),f(y)\right)=d_{1}(x,y)\ \quad \forall x,y$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Ізометрія, або рух, або (рідше) накладення — бієкція (перетворення), яка зберігає відстань між відповідними точками, тобто якщо $A'$ і $B'$ — образи точок $A$ і $B$ , то $|A'B'|=|AB|$.

Термін «ізометрія» поширеніший в метричній геометрії, зокрема, в рімановій геометрії. У загальному випадку метричного простору (наприклад, для неплоских ріманових многовидів) рухи можуть існувати далеко не завжди.

Термін «рух» поширеніший в евклідовій геометрії і суміжних галузях.

У евклідовому (або псевдоевклідовому) просторі ізометрія автоматично зберігає також кути, тобто, зберігаються всі скалярні добутки.

Визначення

Хіральність α-амінокислот

Рух — перетворення простору в себе, за якого зберігається відстань між відповідними точками (умова 1) й зберігаються орієнтації просторових фігур (умова 2). Рух у просторі є обертанням навколо осі, або паралельне перенесення, або гвинтовий рух, тобто обертання навколо декотрої осі з наступним паралельним перенесенням уздовж цієї осі. Якщо за перетворення простору в себе виконується лише перша умова, то це перетворення називається ортогональним. Наприклад, перетворення симетрії площини, за кого змінюється орієнтація фігури (Хіральність (математика)).

Початкові координати точки $A={\begin{pmatrix}x_{A}\\y_{A}\\z_{A}\end{pmatrix}},$ перетворення до нових координат відбувається за лінійного перетворення:

${\begin{pmatrix}x_{A'}'\\y_{A'}'\\z_{A'}'\end{pmatrix}}=U{\begin{pmatrix}x_{A}\\y_{A}\\z_{A}\end{pmatrix}},$

які можна представити квадратною матрицею з елементами $\{a_{ik}\}:$

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{A}\\y_{A}\\z_{A}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}x_{A}+a_{12}y_{A}+a_{13}z_{A}\\a_{21}x_{A}+a_{22}y_{A}+a_{23}z_{A}\\a_{31}x_{A}+a_{32}y_{A}+a_{33}z_{A}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{A'}'\\y_{A'}'\\z_{A'}'\end{pmatrix}}.$

Ця матриця називається матрицею перетворення. Коефіцієнти $\{a_{ik}\}$ задовільняють умові (див. Дельта Кронекера):

$a_{1i}a_{1k}+a_{2i}a_{2k}+a_{3i}a_{3k}=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{якщо}}\,i=k,\\0,{\text{якщо}}\,i\neq k,\end{cases}}$

та визначник, $\Delta =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32},$ дорівнює +1. У ортогональних перетвореннях можлива рівність $\Delta =-1,$ що відрізняє їх від руху.

На площині виділяють два роди руху:

1. Рух першого роду, який не виводить з площини й не змінює орієнтації фігур (паралельне перенесення або обертання).
2. Рух другого роду, який виводить з площини (переготання площини у просторі) й змінює орієнтацію фігури (симетрія відносно прямої з наступним перенесенням або обертанням).

В разі повороту на кут $\varphi$ по годинковій стрілці навколо осі $z$ матриця перетворення має вигляд:

$U={\begin{pmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi &0\\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}.$

Ця матриця є частковим випадком матриці перетворення координат, елементи якої виражені через кути Ейлера $\varphi ,\theta ,\psi .$ Для наведеної матриці $\theta =0,\psi =0.$

Файл:Hregrevrevwewqvq.tif

${\begin{cases}x'=x\cos \varphi +y\sin \varphi \\y'=-x\sin \varphi +y\cos \varphi \\z'=z\end{cases}}$

або

${\begin{cases}x'=\cos \varphi \cdot x+\sin \varphi \cdot y+0\cdot z\\y'=-\sin \varphi \cdot x+\cos \varphi \cdot y+0\cdot z\\z'=0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z\end{cases}}$

Рух першого роду у прямокутній системі координат:

${\begin{cases}x'=x\cos \varphi -y\sin \varphi +a,\\y'=x\sin \varphi +y\cos \varphi +b,\end{cases}}$

де $a,b$ - координати нового початку, $(x',y')$ - координати точки $M'$ (образу), яка відповідає координатам $(x,y)$ точки $M$ (прообразу), $\varphi$ - кут між додатним напрямком осі $Ox$ та її образом - віссю $O'x'.$

Для руху другого роду:

${\begin{cases}x'=x\cos \varphi +y\sin \varphi +a,\\y'=x\sin \varphi -y\cos \varphi +b.\end{cases}}$

Види ізометрії в евклідовому просторі

На площині

• Осьова симетрія (відбиття);
• Паралельне перенесення;
• Обертання;
• Ковзна симетрія — композиція переносу на вектор, що паралельний до прямої, і симетрії цієї прямої.

У тривимірному просторі

• Дзеркальна симетрія (відбиття) щодо площини;
• Паралельний перенос;
• Поворот;
• Ковзна симетрія — композиція перенесення на вектор, що паралельний до площини, і симетрії цієї площини;
• Дзеркальне обертання — композиція повороту навколо деякої прямої і відбиття відносно площини, що перпендикулярна осі повороту;
• Гвинтове накладання — композиція повороту відносно деякої прямої і перенесення на вектор, що паралельний цій прямій.

У n-вимірному просторі

У $n$-вимірному всі просторі рухи зводяться до ортогональних перетворень, паралельних переносів або композицій того й іншого.

У свою чергу ортогональні перетворення можуть бути представлені як композиції (власне) обертань і дзеркальних відбиттів.

Загальні властивості ізометрії в евклідовому просторі

• Композиція ізометрій також є ізометрією.
• Ізометрії щодо композиції утворюють групу.
• Ізометрія — афінне перетворення.
• Ізометрія переводить відрізок у відрізок.

Рухи як композиції симетрій

Композиція двох відбиттів щодо незбіжних паралельних осей дає паралельний перенос.

Композиція двох відбиттів щодо непаралельних осей дає поворот.

Будь-яку ізометрію в $n$-мірному евклідовому просторі можна представити у вигляді композиції не більше ніж $n+1$ відбиттів.

Так, паралельний перенос і поворот — композиції двох відбиттів, ковзне відбиття і дзеркальний поворот — трьох, гвинтове накладення — чотирьох.

Див. також

• Хіральність (математика)
• Ізометричні поверхні
• Ізометрична проєкція
• Конгруентність
• Просторова група
• Інволюція
• Ізометрія у фізиці
  • Перетворення Лоренца — вид ізометрії в чотиривимірному псевдоевклідовому просторі Мінковського
• Теорема тенісної ракетки