Хвилі, збурені на границі розділу двох середовищ при падінні плоскої поздовжньої хвилі
В геофізицірівняння Цьопріца (англ.Zoeppritz equations) — система рівнянь, яка описує перетворення амплітуд відбитих і заломлених плоских хвиль, що утворюються при різних кутах падіння на жорсткій плоскій границі двох однорідних, ізотропних пружних середовищ[1][2].
Вони були отримані в 1907 році німецьким геофізиком Карлом Бернхардом Цьопріцем[en] (опубліковані в 1919 р. вже після його смерті[3]), і описують в термінах амплітуд зміщення те саме явище, яке описується рівняннями Кнотта в термінах потенціалів зміщення.
Ця задача була вперше розглянута Джорджем Гріном в 1839 р. Грін намагався пояснити відбиття і заломлення світла за допомогою теорії пружних хвиль. Однак він не завершив усіх алгебраїчних перетворень, необхідних для випадку, коли два напівпростори мають зовсім різні пружні модулі та густини. Узагальнення виконали Кнотт в 1899 р. і незалежно від нього Цьопріц в 1907 р[2].
Нехай з верхнього середовища у нижнє падає плоскапоздовжня хвиля з амплітудою зміщення під кутом , відмінним від нуля. Тоді на плоскій границі розділу середовищ утворюються чотири хвилі: поздовжня відбита (), поперечна відбита (), поздовжня заломлена () і поперечна заломлена ().
Параметри середовища вказані на рисунку: — густина, — швидкості поширення відповідно поздовжніх і поперечних хвиль. Стрілки показують додатні напрямки для амплітуд. Кути на рисунку пов'язані між собою законом Снеліуса:
Рівняння Цьопріца є достатньо складними, тому часто використовують їх наближені розв'язки у вигляді коефіцієнтів відбиття і проходження як функцій від кута падіння .
Тричленне рівняння Шуей для кутів до 30–40° може бути записане у вигляді:
,
де
,
,
.
В цьому рівнянні перший доданок є коефіцієнтом відбиття при нормальному падінні (), другий характеризує коефіцієнт відбиття на проміжних кутах, а третій описує підхід до критичного кута.
Для кутів до 30° можна використовувати двочленне рівняння Шуей:
↑ аб Sheriff, R. E., Geldart, L. P., (1995), 2nd Edition. Exploration Seismology. Cambridge University Press.(англ.)
↑ абв Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. М.: Мир, 1983. Т. 1.(рос.)
↑Zoeppritz, Karl (1919). Erdbebenwellen VII. VIIb. Über Reflexion und Durchgang seismischer Wellen durch Unstetigkeitsflächen. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 66-84.(нім.)
↑Н. В. Шалаева. AVO-анализ: физические основы, возможности и ограничения. Геленджик. 2004.(рос.)
↑Avesth, P, T Mukerji and G Mavko (2005). Quantitative seismic interpretation. Cambridge University Press, Cambridge, UK(англ.)