Рівняння Швінгера

Рівняння Швінгера — система рівнянь для функцій Гріна у квантовій теорії поля. Запропонована Швінгером у 1951 році. Для отримання рівннянь Швінгера вводять класичні джерела зовнішніх полів. Наприклад, у квантовій електродинаміці частинок зі спіном 1/2 у найпростішому варіанті достатньо додати до лагранжіана взаїмодію квантованого поля фотонів $A^{\mu }(x)$ з джерелом зовнішнього електромагнітного поля $J_{\mu }(x)$ в мінімальній формі — $J_{\mu }A^{\mu }$. За рахунок цього виникає можливість шляхом функціонального вар'ювання за класичним джерелом $J_{\mu }(x)$ отримувати функції Гріна з більшою кількістю фотонних кінців. Матриця розсіяння стає функціоналом $S[J]$ джерела. Зручно також увести середнє спостережуване значення оператора фотонного поля (з урахуванням квантових поправок):

${\mathcal {A^{\mu }}}(x)={\frac {1}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{A^{\mu }(x)S[J]\}\vert 0\rangle =i{\frac {\delta \ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)}},$

де $S_{0}[J]\equiv \langle 0\vert S[J]\vert 0\rangle ,\mu =0,1,2,3.$ $\langle 0\vert \cdots \vert 0\rangle$ — среднє значення операторів за станами вакууму в картині взаємодії, символ $T$ позначає хронологічне упорядкування операторів, ${\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)}},$ — варіаційна похідна.

Література

• Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Глава VI. Приложение общей теории устранения расходимостей // Введение в теорию квантованных полей,. — 4 изд.,. — М. : Наука, 1984. — Т. 4. — С. 389.