Серединна вісь

Серединна вісь фігури є геометричним об'єктом, а саме геометричним місцем точок площин, рівновіддалених від межі фігури (тобто мають, принаймні, дві найближчі точки на межі фігури).

Поняття серединної осі було вперше введено в 1967 році Х. Блюмом при розробці методів аналізу форми біологічних об'єктів.

Алгоритми побудови серединної осі широко використовуються в задачах цифрової обробки зображень, аналізу форми, розпізнавання образів, математичного моделювання.

Серединна вісь тісно пов'язана зі скелетом фігури. Скелет і серединна вісь плоскої фігури є одним і тим же об'єктом з практичної точки зору, а з формальної точки зору відрізняються лише тим, що скелет містить точки межі, в яких вона не буде діференційованою і утворює опуклу вершину, тоді як серединна вісь не містить граничних точок взагалі.

Визначення

Нехай $\Omega$ — плоска фігури, тобто зв'язна компактна множина точок площині, обмежена кінцевим числом непересічних жорданових кривих, і $\Omega ^{c}$ — межа фігури.

Позначимо $B(x)$ множину граничних точок $\Omega$, найближчих до точки $x\in \Omega$ (Евклідовій метриці):$B(x)=\{y\in \Omega ^{c}|d(x,y)=d(x,\Omega ^{c}$

Серединної віссю плоскої фігури $\Omega$ називається множина $M_{\Omega }$ точок $x\in \Omega$, які мають, принаймні, дві найближчі граничні точки: $M_{\Omega }=\{x\in \Omega |Card(B(x))\geqslant 2\}$

У загальному випадку, серединна вісь може бути аналогічно визначена для об'єкта довільної розмірності. В цьому випадку потрібно, щоб $\Omega$ був $n$-мірним зв'язним многовидом з краєм.

Алгоритми побудови

Більшість алгоритмів побудови серединної осі засновані на апроксимації вихідної фігури багатокутною фігурою з необхідним ступенем точності, побудові діаграми Вороного множини її вершин і відрізків і видаленні з діаграми Вороного деяких дуг і відрізків.

Див. також

• Множина
• Вісь