Серединний багатокутник

В геометрії серединний багатокутник багатокутника P — це багатокутник, вершини якого є серединами ребер P. Його іноді називають багатокутником Каснера на честь Едварда Каснера, який «для стислості» назвав його «вписаним багатокутником».

Серединний трикутник

Паралелограм Варіньона

Приклади

Трикутник

Серединний багатокутник трикутника називається серединним трикутником. Він має ті ж центроїд і медіани, що й вихідний трикутник. Периметр серединного трикутника дорівнює півпериметру вихідного трикутника, а площа становить одну чверть площі вихідного трикутника. Це можна довести використовуючи теорему про середину трикутників і формулу Герона. Ортоцентр серединного трикутника збігається з центром описаного кола вихідного трикутника.

Чотирикутник

Серединний багатокутник чотирикутника є паралелограмом, який називається його паралелограмом Варіньона. Якщо чотирикутник простий, площа паралелограма дорівнює половині площі вихідного чотирикутника. Периметр паралелограма дорівнює сумі діагоналей вихідного чотирикутника.

Див. також

• Циркулянтна матриця
• Багатокутник, що розтягується в середній точці
• Теорема Варіньона

Література

• Gardner, Richard J. (2006), Geometric tomography, Encyclopedia of Mathematics and its Applications (англ.), т. 58 (вид. 2nd), Cambridge University Press
• Gardner, Richard J.; Gritzmann, Peter (1999), Uniqueness and Complexity in Discrete Tomography, у Herman, Gabor T.; Kuba, Attila (ред.), Discrete tomography: Foundations, Algorithms, and Applications (англ.), Springer, с. 85—114
• Kasner, Edward (March 1903), The Group Generated by Central Symmetries, with Application to Polygons, American Mathematical Monthly (англ.), 10 (3): 57—63, doi:10.2307/2968300, JSTOR 2968300
• Schoenberg, I. J. (1982), Mathematical time exposures (англ.), Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-438-4

Подальше читання

• Berlekamp, Elwyn R.; Gilbert, Edgar N.; Sinden, Frank W. (March 1965), A Polygon Problem, American Mathematical Monthly (англ.), 72 (3): 233—241, doi:10.2307/2313689, JSTOR 2313689
• Cadwell, J. H. (May 1953), A Property of Linear Cyclic Transformations, The Mathematical Gazette (англ.), 37 (320): 85—89, doi:10.2307/3608930, JSTOR 3608930
• Clarke, Richard J. (March 1979), Sequences of Polygons, Mathematics Magazine (англ.), 52 (2): 102—105, doi:10.2307/2689847, JSTOR 2689847
• Croft, Hallard T.; Falconer, K. J.; Guy, Richard K. (1991), B25. Sequences of polygons and polyhedra, Unsolved Problems in Geometry (англ.), Springer, с. 76—78
• Darboux, Gaston (1878), Sur un problème de géométrie élémentaire, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, Série 2 (фр.), 2 (1): 298—304
• Gau, Y. David; Tartre, Lindsay A. (April 1994), The Sidesplitting Story of the Midpoint Polygon, Mathematics Teacher (англ.), 87 (4): 249—256, doi:10.5951/MT.87.4.0249

Посилання

• Weisstein, Eric W. Midpoint Polygon(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.