Сигма-кільце

У математиці непуста сім'я множин ${\mathcal {R}}$ називається σ-кільцем якщо вона є замкнутою щодо операцій [зліченна множина[|зліченного]] об'єднання і доповнення множин.

Формальне означення

Нехай ${\mathcal {R}}$ — непуста сім'я множин. Тоді ${\mathcal {R}}$ є σ-кільцем якщо:

1. $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}$ якщо $A_{n}\in {\mathcal {R}}$ для всіх $n\in \mathbb {N}$
2. $A\setminus B\in {\mathcal {R}}$ якщо $A,B\in {\mathcal {R}}$

Якщо в першій властивості замість зліченного об'єднання розглядати скінченне (тобто $A\cup B\in {\mathcal {R}}$ якщо $A,B\in {\mathcal {R}}$), тоді ${\mathcal {R}}$ є кільцем але не σ-кільцем. Таким чином σ-кільце є кільцем, що задовольняє умову зліченного об'єднання.

Властивості

Із цих двох властивостей відразу випливає

$\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}$ if $A_{n}\in {\mathcal {R}}$ для всіх $n\in \mathbb {N}$

Це є наслідком того, що $\cap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \cup _{n=2}^{\infty }(A_{1}\setminus A_{n})$.

Застосування в теорії міри

σ-кільця можна застосовувати замість σ-алгебр у теорії міри, якщо немає необхідності у вимірності універсальної множини.

σ-кільце ${\mathcal {R}}$ підмножин множини $X$ породжує σ-алгебру на $X$. Позначимо ${\mathcal {A}}$ сім'ю підмножин $X,$ що є елементами ${\mathcal {R}}$ або їх доповнення є елементами ${\mathcal {R}}$. Тоді ${\mathcal {A}}$ є σ-алгеброю підмножин $X$. Також ${\mathcal {A}}$ є мінімальною σ-алгеброю, що містить .

Див. також

• Дельта-кільце
• Кільце множин
• Сигма-алгебра

Література

• Walter Rudin, 1976. Principles of Mathematical Analysis, 3rd. ed. McGraw-Hill.