Скелетний розклад матриці

Розклад матриці $A^{m\times n}=B^{m\times r}\cdot C^{r\times n}$

Скелетний розклад матриці (англ. rank factorization) — представлення матриці $A$ розміру $m\times n$ і рангу $r(r\leq \min(m,n))$ у вигляді добутку матриць $B$ та $C$ розмірів відповідно $m\times r$ та $r\times n$.

$A=BC\quad (A\in \mathbb {F} ^{m\times n},\quad B\in \mathbb {F} ^{m\times r},\quad C\in \mathbb {F} ^{r\times n})$.

Існування

Оскільки $r$ ранг матриці $A$, то він є і рангом векторного простору її вектор-стовпців. Тоді візьмемо за базис цього простору перші $r$ лінійно-незалежних стовпців матриці $A$. Вони і складуть матрицю $B$.

А оскільки всі стовпці матриці $A$ лінійно виражаються через ці стовпці (тобто матрицю $B$), то коефіцієнти розкладу і утворять матрицю $C$.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)