Скрут кривої

Цей термін має також інші значення. Докладніше — у статті Скрут.

У диференціальній геометрії, скрут кривої (англ. torsion of a curve) — це кількісна міра відхилення кривої від стичної площини. Таким чином, скрут вказує наскільки крива відрізняється від форми плоскої кривої.

Для плоскої кривої скрут дорівнює нулю. Коли скрут кривої є мірою відхилення від площини, то кривина кривої є мірою відхилення від прямої.

Визначення

Нехай $P$ — довільна точка регулярної кривої $\gamma$ , $Q$ — точка кривої, що близька до $P$ . Позначимо через $\Delta \alpha$ кут між стичними площинами кривої в точках $P$ та $Q$ , а через $\Delta s$ — довжину дуги $PQ$ кривої. Тоді $\lim _{Q\to P}{\frac {\Delta \alpha }{\Delta s}}$ , якщо він існує, називається абсолютним скрутом кривої $\gamma$ в точці $P$ і позначається через $|k_{2}|$ ^[1].

Геометричний зміст абсолютного скруту й знака скруту

Абсолютний скрут кривої в точці $P$ дорівнює кутовій швидкості обертання бінормалі кривої навколо точки $Q$ , тобто $|k_{2}|=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta \alpha }{\Delta s}},$ де $\Delta \alpha$ — кут повороту бінормалі, що відповідає приросту довжини дуги $\Delta s$ . Скрут буде додатнім (від'ємним), якщо при спостереженні з кінця вектора швидкості вектор бінормалі при русі точки по кривій обертається проти (по) годинникової стрілки.

Теорема

Нехай $\gamma$ — регулярна крива класу $C^{3}$ . Тоді в кожній точці кривої, в якій кривина $k_{1}\neq 0$ , визначений абсолютний скрут $|k_{2}|$ . Якщо ${\bar {r}}={\bar {r}}(s)$ — натуральна параметризація кривої, то

 $|k_{2}|=|{\bar {\beta }}'_{s}|={\frac {|({\bar {r}}'_{s},{\bar {r}}''_{s},{\bar {r}}'''_{s})|}{k_{1}^{2}}}$ ,

де ${\bar {\beta }}(s)$ — вектор-функція одиничних бінормалей кривої $\gamma$ .

Доведення. Розглянемо властивості вектора ${\bar {\beta }}$ :

${\bar {\beta }}'\bot {\bar {\beta }}$ , бо ${\bar {\beta }}$ — одиничний вектор, отже ${\bar {\beta }}^{2}=const$ , $2{\bar {\beta }}{\bar {\beta }}'=0$ ;
${\bar {\beta }}'\bot {\bar {\tau }}$ (оскільки ${\bar {\beta }}=[{\bar {\tau }},{\bar {\nu }}]$ , з першої формули Френе: ${\frac {d{\bar {\tau }}}{ds}}=k_{1}{\bar {\nu }}$ і ${\frac {d{\bar {\beta }}}{ds}}=[{\frac {d{\bar {\tau }}}{ds}},{\bar {\nu }}]+[{\bar {\tau }},{\frac {d{\bar {\nu }}}{ds}}]=[{\bar {\tau }},{\bar {\nu }}']$ ); Тут ${\bar {\tau }},{\bar {\nu }}$ познадають відповідно одиничні дотичний і нормальний вектори, $k_{1}$ — кривину кривої у відповідній точці.
${\frac {d{\bar {\beta }}}{ds}}=-k_{2}{\bar {\nu }}$ (третя формула Френе).

Таким чином,

|k_{2}|={\frac {|{d{\bar {\beta }}}|}{|ds|}}

.

Знайдемо тепер

{\frac {|{d{\bar {\beta }}}|}{|ds|}}

,

{\bar {\beta }}'=-k_{2}{\bar {\nu }}

,

{\bar {\beta }}'\cdot {\bar {\nu }}=-k_{2}{\bar {\nu }}^{2}

або

k_{2}={\bar {\beta }}'\cdot {\nu }^{2}

.

Враховуючи властивість 2 та першу формулу Френе і розглядаючи кривину $k$ як функцію $s$ , маємо:

k_{2}=[{\bar {\tau }},{\bar {\nu }}']\cdot {\bar {\nu }}=-[{\bar {r}}',({\frac {1}{k_{1}}}{\bar {r}}'')']\cdot {\frac {1}{k_{1}}}{\bar {r}}''=-{\frac {1}{k_{1}^{3}}}[{\bar {r}}',{\bar {r}}'''k_{1}-{\bar {r}}''k_{1}']{\bar {r}}''={\frac {1}{k_{1}^{3}}}([{\bar {r}}',{\bar {r}}'']k_{1}'{\bar {r}}''-[{\bar {r}}',{\bar {r}}''']{\bar {r}}''k_{1})={\frac {({\bar {r}}',{\bar {r}}'',{\bar {r}}''')}{k_{1}^{2}}}

.

Отже,

|k_{2}|={\frac {|({\bar {r}}'_{s},{\bar {r}}''_{s},{\bar {r}}'''_{s})|}{k_{1}^{2}}}

Скрут кривої в довільній параметризації

Нехай ${\bar {r}}={\bar {r}}(t)$ — регулярна параметризація кривої $\gamma$ , ${\bar {r}}\in \mathbb {C} ^{3}$ . Тоді, $|k_{2}|={\frac {|({\bar {r}}'_{t},{\bar {r}}''_{t},{\bar {r}}'''_{t})|}{[{\bar {r}}'_{t},{\bar {r}}''_{t}]^{2}}}$ — абсолютний скрут в довільній параметризації. Для $F(x,y,z)=0$ скрут кривої обчислюється за формулою: