Скрут кривої

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У диференціальній геометрії, скрут кривої (англ. torsion of a curve) — це кількісна міра відхилення кривої від стичної площини. Таким чином, скрут вказує наскільки крива відрізняється від форми плоскої кривої.

Для плоскої кривої скрут дорівнює нулю. Коли скрут кривої є мірою відхилення від площини, то кривина кривої є мірою відхилення від прямої.

Визначення

[ред. | ред. код]

Нехай  — довільна точка регулярної кривої ,  — точка кривої, що близька до . Позначимо через кут між стичними площинами кривої в точках та , а через  — довжину дуги кривої. Тоді , якщо він існує, називається абсолютним скрутом кривої в точці і позначається через [1].

Геометричний зміст абсолютного скруту й знака скруту

[ред. | ред. код]

Абсолютний скрут кривої в точці дорівнює кутовій швидкості обертання бінормалі кривої навколо точки , тобто де  — кут повороту бінормалі, що відповідає приросту довжини дуги . Скрут буде додатнім (від'ємним), якщо при спостереженні з кінця вектора швидкості вектор бінормалі при русі точки по кривій обертається проти (по) годинникової стрілки.

Теорема

Нехай — регулярна крива класу . Тоді в кожній точці кривої, в якій кривина , визначений абсолютний скрут . Якщо — натуральна параметризація кривої, то

, 

де вектор-функція одиничних бінормалей кривої .


Доведення. Розглянемо властивості вектора :

  1. , бо  — одиничний вектор, отже , ;
  2. (оскільки , з першої формули Френе: і ); Тут познадають відповідно одиничні дотичний і нормальний вектори, — кривину кривої у відповідній точці.
  3. (третя формула Френе).
Таким чином, .
Знайдемо тепер , , або .

Враховуючи властивість 2 та першу формулу Френе і розглядаючи кривину як функцію , маємо:

.
Отже,

Скрут кривої в довільній параметризації

[ред. | ред. код]

Нехай  — регулярна параметризація кривої , . Тоді,  — абсолютний скрут в довільній параметризації. Для скрут кривої обчислюється за формулою:

.

Зауваження

[ред. | ред. код]

Якщо скрут кривої дорівнює нулю , то крива плоска.

Приклад

[ред. | ред. код]

Обчислимо скрут гвинтової лінії: . Оскільки

то

Тоді

Примітки

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]