У лінійній алгебрі, власний розклад або спектральний розклад — це розклад матриці в канонічну форму, таким чином ми представляємо матрицю в термінах її власних значень і власних векторів. Тільки діагоналізовні матриці можна так розкласти.
Фундаментальна теорія власних векторів і значень матриці
[ред. | ред. код]
Вектор (ненульовий) v розмірності N є власним вектором квадратної (N×N) матриці A тоді і тільки тоді, коли він задовольняє лінійному рівнянню
![{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4bca75ce898b48e51ff4f79b0a8cc3c53afdee)
де λ це скаляр, термін власне значення стосується v. Тобто, власні вектори це такі вектори, які лінійне перетворення A лише розтягує або скорочує і коефіцієнт розтягування/скорочення і є власним значенням.
Звідси походить рівняння для власних значень
![{\displaystyle p\left(\lambda \right):=\det \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)=0.\!\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a240a6f71b552e700252c493feca9571284fd2)
Ми звемо p(λ) характеристичним многочленом, а рівняння називають характеристичним рівнянням, воно являє собою многочленом порядку N з невідомою λ. Це рівняння матиме Nλ відмінних розв'язків, де 1 ≤ Nλ ≤ N . Множину розв'язків, тобто власних значень, іноді звуть спектром A.
Ми можемо розкласти p на множники
![{\displaystyle p\left(\lambda \right)=(\lambda -\lambda _{1})^{n_{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{n_{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{k})^{n_{k}}=0.\!\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f635cdc611d8671d09c2ebfb1b9a8b5dfb36d5d)
Ціле ni називається алгебричною кратністю власного значення λi. Сума всіх алгебраїчним кратностей дорівнює N:
![{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{N_{\lambda }}{n_{i}}=N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffdc6db4809d9030a812ee1422cc3a1f4564b08b)
Для кожного власного значення, λi, ми маємо особливе рівняння
![{\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} \right)\mathbf {v} =0.\!\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c755fdc842be57de59115d149c9aa9bac8ccb6f3)
Всього буде 1 ≤ mi ≤ ni лінійно незалежних розв'зяків для кожного власного значення. mi розв'язків будуть власними векторами пов'язаними з власним значенням λi. Ціле mi називають геометричною кратністю λi. Важливо пам'ятати, що алгебраїчне ni і геометричне mi кратні можуть бути однаковими і різними, але завжди mi ≤ ni. Найпростіший випадок це коли mi = ni = 1. Загальна кількість лінійно незалежних власних векторів, Nv, можна дізнатись додавши геометричні кратності
![{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{N_{\lambda }}{m_{i}}=N_{\mathbf {v} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f54bdf8f5329d381014231c28f28b0452bcec970)
Власні вектори можна проіндексувати по їх власним значенням, тобто із використанням подвійного індексування, з vi,j, де jй власний вектор iго власного значення. Також це можна зробити з одним індексом vk, з k = 1, 2, ..., Nv.
Нехай A буде квадратною (N×N) матрицею з N лінійно незалежними власними векторами,
Тоді A можна розкласти як
![{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0edeaafb9644ef4c52881019a256add81d1356)
де Q це квадратна (N×N) матриця чиї i-ті стовпчики є власними векторами
A і Λ це діагональна матриця чиї діагональні елементи є відповідними власними значеннями, тобто,
. Зауважте, що тільки діагоноалізовні матриці можна розкласти таким чином. Наприклад, матрицю, що на має N (2) незалежних власних векторів
не можна діагоналізувати.
Зазвичай власні вектори
нормалізують, але в цьому немає потреби. Ненормалізований набір власних векторів,
також можна використовувати як стовпчики для Q. Це можна зрозуміти, зауваживши, що величина власних векторів у Q зникає в розкладі завдяки присутності Q−1.
Якщо за приклад для декомпозиції через множення на несингулярну матрицю
в діагональну матрицю взяти дійсну матрицю
.
Тоді
, для деякої дійсної діагональної матриці
.
Перенесемо
на правий бік:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed62f672a0009391c9a6527da815c658e0bfe13c)
Попереднє рівняння можна рознести в систему з двох рівнянь:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b756734d4f43be60b8980fd28febd84eec8f21a5)
Винесемо власні значення
і
:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a470eb5aae455023e456d7bd7f057dea2da7da5b)
Поклавши
, отримаємо два векторних рівняння:
![{\displaystyle {\begin{cases}A{\overrightarrow {a}}=x{\overrightarrow {a}}\\A{\overrightarrow {b}}=y{\overrightarrow {b}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ed21324d651360ea5a580c2cae08fde438f707)
І це можна представити як одне векторне рівняння, яке має два розв'язки як власні значення:
![{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4e5cd752aa08d13eb76c4a78bc55851010f810)
де
представляє два власних значення
і
,
представляє вектори
і
.
Перенесемо
ліворуч і винесемо за дужки
![{\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {u} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9385dc7733f243255f1d103d4197bd3af9bd45f)
Через те, що
несингулярна, тут важливо, що
не нуль,
![{\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=\mathbf {0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c12ae566ef60b5ef4d10407ca9f17919e77685)
Розглядаючи визначник
,
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1-\lambda &0\\1&3-\lambda \end{bmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fc5bf47f91d8b5ba9f8f38ad34d42e025d474e)
Отже
![{\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb77447a5952462ac056bb8693d6e3c5ec40359)
Отримавши
і
як розв'язки власних значень для матриці
, маємо в результаті діагональну матрицю
власного розкладу
.
Впишемо розв'язки в систему рівнянь
Розв'язавши рівняння ми маємо
and
Отже матриця
потрібна для власного розкладу матриці
є
. тобто :
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\\\end{bmatrix}},[c,d]\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc27b8fd16439b756f28490023824d5ee9b00e8e)
Якщо матриця A має власний розклад і якщо жодне з її власних значень не дорівнює нулю, тоді A — несингулярна, тобто моє обернену і обернена задається так
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cca36e5e9dab274c67095f37f9dc3bb5aff8b0d)
Далі більше, через те, що Λ діагональна, її обернену дуже легко обчислити:
![{\displaystyle \left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57c7c286afe19b02c6d88e723c53eac4f4fedb8)