Стала Гельфонда–Шнайдера

	Стала Гельфонда–Шнайдера
Названо на честь	Гельфонд Олександр Йосипович і Theodor Schneiderd
Досліджується в	Gelfond–Schneider theoremd
Числове значення	2,66514414269

Не плутати з константою Гельфонда^[en]

Стала Гельфонда–Шнайдера або число Гільберта^[1] дорівнює двійці у степені квадратного кореня з двох:

2^{\sqrt {2}}=2{,}6651441426902251886502972498731\ldots

Трансцендентність цього числа була доведена Р.О. Кузьміним^[en] у 1930 році.^[2] У 1934 році Олександр Гельфонд і Теодор Шнайдер^[en] незалежно один від одного довели більш загальну теорему Гельфонда–Шнайдера^[en]^[3], яка вирішила частину сьомої проблеми Гільберта^[en], описаної нижче.

Властивості

Квадратний корінь зі сталої Гельфонда–Шнайдера є трансцендентним числом:

{\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1{,}63252691943815284477\ldots \,.

Цю ж саму сталу можна використати для доведення, що ``ірраціональна степінь ірраціонального числа може бути раціональним числом, навіть без попереднього доведення трансцендентності $2^{\sqrt {2}}$ . Доведення наступне: або число ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ є раціональним, що доводить теорему, або воно є ірраціональним (як виявляється), і тоді число

\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2

є ірраціональним числом в ірраціональному степені, а отже, є раціональним, що й доводить теорему.^[4]^[5] Доведення не є конструктивним, оскільки не вказує, який із двох випадків вірний, але воно набагато простіше, ніж доведення Р. Кузьміна^[en].

Сьома проблема Гільберта

Частина сьомої з двадцяти трьох проблем Гільберта, поставлених у 1900 році, полягала в тому, щоб довести або знайти контрприклад до твердження, що вираз $a^{b}$ завжди є трансцендентним для алгебраїчної сталої $a\neq 0,1$ та ірраціональної алгебраїчної сталої $a^{b}$ . У своїй промові він навів два явних приклади, один із яких — стала Гельфонда–Шнайдера $2^{\sqrt {2}}$ .

У 1919 році він прочитав лекцію з теорії чисел і розповів про три припущення: гіпотезу Рімана, останню теорему Ферма та трансцендентність $2^{\sqrt {2}}$ . Він зазначив аудиторії, що не сподівався, що хтось із присутніх у залі проживе достатньо довго, щоб побачити доведення цього результату.^[6] Але доказ трансцендентності цього числа був опублікований Р. Кузьміним у 1930 році^[2], ще за життя Д. Гільберта. А саме, Р. Кузьмін довів випадок, коли показник степеня $b$ є дійсним квадратичним ірраціональним числом, який пізніше був розширений до довільного алгебраїчного ірраціонального числа $b$ Гельфондом і Шнайдером.

Див. також

константа Гельфонда^[en]

Література

↑ Courant, R.; Robbins, H. (1996), What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, с. 107
↑ ^а ^б R. O. Kuzmin (1930). On a new class of transcendental numbers. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem. 7: 585—597.
↑ Aleksandr Gelfond (1934). Sur le septième Problème de Hilbert. Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. VII (4): 623—634.
↑ Jarden, D. (1953), Curiosa: A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational, Scripta Mathematica, 19: 229.
↑ Jones, J. P.; Toporowski, S. (1973), Irrational numbers, American Mathematical Monthly, 80 (4): 423—424, doi:10.2307/2319091, JSTOR 2319091, MR 0314775,
↑ David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919—1920.

Додаткова література

Ribenboim, Paulo (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98911-0. Zbl 0947.11001.
Tijdeman, Robert (1976). On the Gel'fond–Baker method and its applications. У Felix E. Browder (ред.). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Т. XXVIII.1. American Mathematical Society. с. 241—268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0341.10026.

[1] Courant, R.; Robbins, H. (1996), What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, с. 107

[Kuzmin-2] а ^б R. O. Kuzmin (1930). On a new class of transcendental numbers. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem. 7: 585—597.

[3] Aleksandr Gelfond (1934). Sur le septième Problème de Hilbert. Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. VII (4): 623—634.

[4] Jarden, D. (1953), Curiosa: A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational, Scripta Mathematica, 19: 229.

[5] Jones, J. P.; Toporowski, S. (1973), Irrational numbers, American Mathematical Monthly, 80 (4): 423—424, doi:10.2307/2319091, JSTOR 2319091, MR 0314775,

[6] David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919—1920.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]