Су́ма (лат. summa ) — результат операції додавання .
Наприклад, у виразі
4 + 5 = 9 9 є сумою, а числа 4 і 5 називаються доданками .
Сума позначається знаком + (плюс ).
Для позначення суми членів послідовності використовується символ
∑
{\displaystyle \sum }
сигма ), наприклад
∑
i
=
1
N
a
i
=
a
1
+
a
2
+
…
a
N
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots a_{N}}
Якщо послідовність нескінченна, то така сума називається числовим рядом і позначається
∑
i
=
1
∞
a
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}
В алгебраїчний вираз можуть входити члени, знаки яких наперед не визначені. Тобто для певних членів виразу виконується операція додавання, для інших — віднімання. Тому вираз загального вигляду, до якого входять операції додавання і віднімання називають алгебраїчною сумою . Наприклад,
5
−
4
=
5
+
(
−
4
)
{\displaystyle 5-4=5+(-4)}
a
−
b
=
a
+
(
−
b
)
{\displaystyle a-b=a+(-b)}
Часто для скорочення суму з n доданків a k , a k+1 , …, a N позначають великою грецькою буквою Σ (сигма):
a
k
+
a
k
+
1
+
.
.
.
+
a
N
=
∑
i
=
k
N
a
i
{\displaystyle a_{k}+a_{k+1}+...+a_{N}=\sum _{i=k}^{N}a_{i}}
Це позначення називається визначеною (скінченню) сумою a i по i від k до N .
∑
i
=
k
N
a
i
{\displaystyle \sum _{i=k}^{N}a_{i}}
∑
P
(
i
)
a
i
{\displaystyle \sum _{P(i)}^{}a_{i}}
P
(
i
)
{\displaystyle P(i)\ }
i
{\displaystyle i\ }
∑
P
(
i
)
a
i
{\displaystyle \sum _{P(i)}^{}a_{i}}
a
i
{\displaystyle a_{i}\ }
i
∈
Z
:
P
(
i
)
{\displaystyle i\in Z:P(i)\ }
(
∑
i
=
k
1
k
2
a
i
)
(
∑
j
=
p
1
p
2
b
j
)
=
∑
i
=
k
1
k
2
(
∑
j
=
p
1
p
2
a
i
b
j
)
{\displaystyle \left(\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{i}b_{j}\right)}
∑
i
=
k
1
k
2
∑
j
=
p
1
p
2
a
i
j
=
∑
j
=
p
1
p
2
∑
i
=
k
1
k
2
a
i
j
{\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{ij}=\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{ij}}
∑
i
=
k
1
k
2
(
a
i
+
b
i
)
=
∑
i
=
k
1
k
2
a
i
+
∑
i
=
k
1
k
2
b
i
{\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}+\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}b_{i}}
∑
i
=
k
1
k
2
z
⋅
a
i
=
z
⋅
∑
i
=
k
1
k
2
a
i
{\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}{z\cdot a_{i}}=z\cdot \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}}
Сума арифметичної прогресії :
∑
i
=
0
n
(
a
0
+
b
⋅
i
)
=
(
n
+
1
)
a
0
+
a
n
2
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}
Сума геометричної прогресії :
∑
i
=
0
n
a
0
⋅
b
i
=
a
0
⋅
1
−
b
n
+
1
1
−
b
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}}
∑
i
=
0
n
(
1
p
)
i
=
p
p
−
1
(
1
−
1
p
n
+
1
)
,
p
≠
1
,
n
≥
0
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0}
Чому це так
∑
i
=
0
n
(
1
p
)
i
=
∑
i
=
0
n
1
⋅
1
p
i
=
1
⋅
1
−
(
1
p
)
n
+
1
1
−
1
p
=
p
n
+
1
−
1
p
n
+
1
p
−
1
p
=
p
n
+
1
−
1
p
n
(
p
−
1
)
=
p
p
−
1
(
1
−
1
p
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}}}}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{n+1}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac {p-1}{p}}}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right)}
∑
i
=
0
n
i
p
i
=
n
p
n
+
2
−
(
n
+
1
)
p
n
+
1
+
p
(
p
−
1
)
2
,
p
≠
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1}
Чому це так
Доведення:
∑
i
=
0
n
i
p
i
=
∑
i
=
1
n
i
p
i
=
p
⋅
∑
i
=
1
n
i
p
i
−
1
=
p
⋅
∑
i
=
0
n
−
1
(
i
+
1
)
p
i
=
p
⋅
(
∑
i
=
0
n
−
1
i
p
i
+
∑
i
=
0
n
−
1
p
i
)
=
p
⋅
∑
i
=
0
n
i
p
i
−
p
⋅
n
p
n
+
p
⋅
1
−
p
n
1
−
p
⇒
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}=\sum _{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum _{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}}{1-p}}\Rightarrow }
⇒
(
1
−
p
)
∑
i
=
0
n
i
p
i
=
−
n
p
n
+
1
(
1
−
p
)
+
p
−
p
n
+
1
1
−
p
⇒
∑
i
=
0
n
i
p
i
=
n
p
n
+
2
−
(
n
+
1
)
p
n
+
1
+
p
(
1
−
p
)
2
{\displaystyle \Rightarrow (1-p)\sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}}
∑
i
=
0
n
p
i
=
(
p
−
1
)
∑
i
=
0
n
−
1
(
(
n
−
i
)
p
i
)
+
n
+
1
,
p
≠
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1}
При
p
=
10
{\displaystyle p=10\ }
∑
i
=
0
n
10
i
=
9
⋅
∑
i
=
0
n
−
1
(
(
n
−
i
)
10
i
)
+
n
+
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1}
1
=
9
⋅
0
+
1
,
11
=
9
⋅
1
+
2
,
111
=
9
⋅
12
+
3
,
1111
=
9
⋅
123
+
4
,
11111
=
9
⋅
1234
+
5
{\displaystyle 1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5}
Невизначеною сумою a i по i називається така функція f(i) , яка позначається
∑
i
a
i
{\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}}
∀
i
f
(
i
+
1
)
−
f
(
i
)
=
a
i
+
1
{\displaystyle \forall if(i+1)-f(i)=a_{i+1}}
Якщо знайдена невизначена сума
∑
i
a
i
=
f
(
i
)
{\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}=f(i)}
∑
i
=
k
N
a
i
=
f
(
N
+
1
)
−
f
(
k
)
{\displaystyle \sum _{i=k}^{N}a_{i}=f(N+1)-f(k)}
Латинське слово summa перекладається як «головний пункт», «сутність», «підсумок». З XV століття слово починає вживатися в сучасному сенсі, з'являється дієслово «підсумувати» (1489 рік)[джерело? .
Це слово проникло в багато сучасних мов: в українську, англійську, французьку та інші.
Спеціальний символ для позначення суми (S) першим ввів Ейлер в 1755 році. Як варіант, використовувалася грецька буква Сигма Σ. Пізніше зважаючи на зв'язок понять підсумовування та інтегрування, S також використовували для позначення операції інтегрування .
