Суми Клоостермана

Суми Клоостермана — предмет вивчення аналітичної теорії чисел, тригонометричні суми над елементами кільця лишків, оберненими за модулем елементами деякої множини з природною структурою (як правило, інтервалу або простих чисел з інтервалу).

Перші оцінки сум отримав 1926 року Клоостерман у зв'язку з дослідженням кількості подань чисел у вигляді $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}$.

Визначення

Нехай $q\geq 3$ — довільне ціле число і для $n\in {\mathbb {F} }_{q}$ взаємнопростого з $q$ введено позначення $n{\overline {n}}\equiv 1{\pmod {q}}$. Тоді для $a,b\in {\mathbb {F} }_{q}$ повною сумою Клоостермана називають суму вигляду

$S(q;a,b):=\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq q-1}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}\ .$

Неповною називають суму за деяким інтервалом $\sum \limits _{n=M+1}^{M+N}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}$.

Іноді розглядають суми за простим, полілінійні суми за участю обернених елементів та інші суми вигляду $\sum \limits _{n\in A}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}$, де $A\subset {\mathbb {F} }_{q}$.

За заданого $q$ зазвичай оцінюють суми Клоостермана за довільних $a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}$, зокрема величину $S(q)=\max \limits _{a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}{S(q;a,b)}$.

Властивості

При $a=0$ повні суми Клоостермана вироджуються в суми Рамануджана.

Якщо $(q_{1},q_{2})=1$, то $S(q)=S(q_{1})S(q_{2})$, тому питання оцінки $S(q)$ зводиться до випадку $q=p^{n}$.

Оцінки

$|S(q)|\leq \tau (q){\sqrt {q}}$, де $\tau (q)$ — число дільників. З цього виходить що $\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq x}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}\leq \tau (q){\sqrt {q}}(\log q+1)$ для будь-кого $x<q$.

Для сум останнього вигляду при $q=p,\ b=0$ відомі також інші оцінки, нетривіальні при $x\geq \exp \left({\Omega ((\log p)^{2/3}(\log \log p)^{2})}\right)$.

Література

• H. D. Kloosterman. On the representation of numbers in the form $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}$ // Acta Math.. — 1926. — Vol. 49, iss. 1 (5 November). — P. 407–464.

• М. А. Королёв. Методы оценок коротких сумм Клоостермана // Чебышёвский сборник. — 2016. — Т. 17, вып. 4 (5 ноября). — С. 79–109.

• М. А. Королёв. О коротких суммах Клоостермана по простому модулю // Математические заметки. — 2016. — Т. 100, вып. 6 (5 ноября). — С. 838–846.

• Ж. Бургейн, М. З. Гараев. Сумма множеств, образованных обратными элементами в полях простого порядка, и полилинейные суммы Клоостермана // Известия РАН. — 2014. — Т. 78, вып. 4 (5 ноября). — С. 19–72. — arXiv:1211.4184.

• R. C. Baker. Kloosterman sums with prime variable // Acta Arithmetica. — 2012. — Vol. 156 (5 November). — P. 351–372.